東工大物理'09年前期[2]

1のように、真空中に、面積S2枚の水平な金属円板からなる平行板コンデンサーがある。平行板コンデンサーの下電極はつねに固定されているが、上電極は鉛直方向のみに自由に動くことができる。下電極の位置を基準とし、鉛直上向きを正とする座標xを考える。上電極の質量をm,重力加速度の大きさをg,真空の誘電率をとする。ただし、電極間の距離はつねに金属円板の半径より十分に小さいものとする。また、電極の厚さ、および電極の振動によって発生する電磁波は無視できるとして以下の問いに答えよ。
[A] 平行板コンデンサーの上下電極に、それぞれおよび ()の電荷を蓄え、はじめに上電極をの位置に外力によって固定した。
(a) 外力を変化させ、上電極を位置からに移動させた。コンデンサーに蓄えられている静電エネルギーの変化を求めよ。
(b) 静電エネルギーの変化をもとに、上電極の位置がのときに、極板間に働く静電気力の大きさを求めよ。
(c) 2のように、ばね定数kの重さが無視できるばねを上電極に取り付け、ばねの上端を固定した。このとき、上電極はの位置で外力によって支えられており、ばねは自然長である。上電極を支えていた外力をはずしたところ、上電極は下電極に接することなく単振動をはじめた。上下電極の間隔が最も狭いとき、下電極の電位を基準として上電極の電位を求めよ。ただし、上下電極にはそれぞれおよびの電荷が常に蓄えられており、ばねに電荷が逃げることはないものとする。
[B] 1の平行板コンデンサーの上下電極を完全に放電した後、図3に示すように厚さ,誘電率,面積Sの誘電体円板を、下電極に完全に重なるように置き、電流計と起電力の電池を接続した。さらに外力を用いて、図4に示すように、上電極の位置がからの間で周期Tをもって周期運動するように動かした。上電極は時刻から (n0以上の整数)の間、一定の速度で動いている。電池と電流計の内部抵抗は無視できるものとする。
(d) を満たすある時刻tにおいて、上電極はの位置にあった()。平行板コンデンサーの容量を求めよ。また、平行板コンデンサーの上電極に蓄えられている電荷量を求めよ。
(e) aDに比べて十分に小さいとして、問(d)で求めたの近似値を求めてみよう。問(d)で求めたは、上電極の位置がのときのコンデンサーの容量をとすると、
と書ける。ここでであるので、bDに比べて十分に小さい。そのため、()1よりも十分に小さい。1より十分に小さいz ()に対して成り立つ近似式を使うと
と近似できる。()()を求めよ。
(f) (e)で求めたの近似値を用いて、電流計が示す電流の変化の様子を時刻0からの範囲で答案用紙の解答欄に図示せよ。また、電流計が示す電流の最大値を答えよ。ただし、電池の正極から電流が流れ出すときの電流値を正とする。また、時刻付近(答案用紙中の斜線の領域)における様子は示さなくてよい。

解答 コンデンサーに関する標準的な問題です。

[A](a) のとき、コンデンサーの静電容量静電エネルギーは、
のとき、コンデンサーの静電容量静電エネルギーは、
静電エネルギーの変化は、 ......[]
(b) 極板間には引力が働くので、両極板を引き離すために外力は正の仕事をすることになります。極板間の電気力線の密度は極板間距離が変化しても変わらないので、極板間の電界も変わらず静電気力も変化しません。静電気力に逆らって外力のする仕事,これが(a)静電エネルギーの変化分になるので、
......[]
(c) 極板間には引力が働くので、(b)静電気力の向きは、上極板では鉛直下向き(x軸負方向)です。上極板には他に、重力 (x軸負方向),上極板の位置をxとしてばねの伸びとなるのでばねの弾性力 (x軸正方向)が働きます。これらの力のつり合いより、
振動中心(力のつり合いの位置)x座標は、
はじめ、上極板はにいたので、単振動振幅,上下電極の間隔が最も狭いときには上極板は振動端にあって、そのx座標は、
(とおく)
このときの静電容量,下極板を基準とする上極板の電位は、公式(b)の結果を用いて、
......[]

[B](d) 極板間隔,極板間の誘電率のコンデンサーと、極板間隔,極板間の誘電率のコンデンサーの直列接続の合成容量になると考えます。
......[]
......[]
(e) のときの静電容量は、(d)として、
(d)は、
より、
() () ......[]
(f) 上極板は、においては、問題文のグラフより時間の間に距離a進むので、速さとなります。
jを自然数として、上極板の速度は、のときに、
のときに、
時刻付近を除いて(のときにが存在しない)電流 (電池の正極から電流が流れ出すときにコンデンサーの上極板の正電荷が増大するのでとなることに注意)は、(d)の近似を用いて、
よって、のとき、
()
のとき、
()
よって、電流の変化の様子は右図。また、
......[]


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