東工大物理'09年前期[1]

質量がmである2つの小さな物体ABを、自然長L,ばね定数kの重さが無視できるばねの両端につける。それを、物体Aが鉛直な壁に接するように、水平な床の上に置く。図に示すように、物体Bに力を加えてばねを自然長から長さlだけゆっくり縮め、瞬時に力を除く。物体Aが壁から離れた後、ばねの中点Pから見て、物体Aと物体Bはそれぞれ単振動する。物体の運動に関する以下の問いに答えよ。ただし、床と壁は平らでなめらかである。
(a) 物体Aが壁から離れるときの、物体Bの速さを求めよ。
(b) 物体Aが壁から離れた直後の、ばねの中点Pの速さを用いて表せ。
(c) 物体Aが壁から離れる時刻をとし、その後、ばねの長さがはじめて自然長Lになる時刻をとする。を求めよ。
(d) 時刻の後、ばねの長さが次に自然長Lになる時刻をとする。時刻におけるばねの長さLlを用いて表せ。
(e) 時刻における物体Aの速さを求めよ。
(f) 時刻に、物体Bに水平方向の撃力を加えたところ、ばねの中点Pが静止した。撃力とは極めて短い時間に物体に作用する力である。撃力の力積の大きさIを用いて表せ。

解答 東工大の力学の問題としては軽めです。問題文は、ばねの中点から見た相対運動として考えるように書かれているので、それに即して考えてみます。

(a) 物体Aの最初の位置原点にとってx軸を考え、物体B位置xとします。ばねの縮みです。物体B加速度aとして物体B運動方程式は、

これは、自然長の位置を振動中心とする角振動数単振動を表します。
物体
Aは壁から離れる瞬間まで静止しています。物体Aに働くは、ばねから受ける左向きの弾性力と壁から受ける右向きの垂直抗力Nです。両者の力のつり合いより、
物体Aが壁から離れる瞬間にとなります。

従って、物体Aが壁から離れる瞬間に、ばねの長さ自然長で物体Bは単振動の振動中心にあり速さが最大になっています。最初に長さlだけ縮めて瞬時にを除いたので単振動の振幅lです。単振動の公式より、
......[]
別解.ばねが最も縮んだときと、物体Aが壁から離れる瞬間との力学的エネルギー保存より、
 ∴

(b) 物体Aが壁から離れる瞬間以降の物体A,物体B位置とします。系の重心、つまり、ばねの中点P位置は、
P速度は、
物体Aが壁から離れた直後に、より、点P速さは、
......[]
別解.物体Aと物体Bからなる系の質量で、系の重心はばねの中点にあり、重心の速さはばねの中点の速さになります。物体Aが壁から離れる瞬間の系の運動量は、物体B運動量(物体A運動量0)と見れば,重心の運動量と見れば,両者は一致するので、
......[]

(c) 物体Aが壁から離れる瞬間以降、ばねの長さです。右向きを正として、物体Aに働く,物体Bに働くです。物体A,物体B加速度として、
物体A運動方程式 ・・・@
物体
B運動方程式 ・・・A
@+Aより、
よって、物体
A+物体B加速度で、系の重心,つまり、ばねの中心Pは、初速度のまま等速度運動を続けます。ここで、
 ・・・B
同様に、
 ・・・C
また、は定数なので、
@にBを、AにCを代入することにより、@,Aを、

と変形することができます。これが、ばねの中点から見た物体A,物体Bの運動方程式です。これより、

よって、物体A,物体Bともに、重心から見た運動は、角振動数単振動になります。周期Tは、
ばねは自然長から一旦伸びてまた縮むのですが、の後、はじめてばねが自然長になる時刻は、
......[]
別解.ばねをばねの中点P2つに分け、半分ずつのばねで物体A,物体B単振動を行う、と、考えると、半分のばねのばね定数はになるので、単振動の周期,求める時刻はこの半分で、

(d) において、ABとも振動中心にあり、となるので、単振動の振幅Cとして(物体Aと物体Bの運動は、ばねの中点に関して対称なので、両者の振幅は一致し、変位の符号が逆になります)
 ・・・D
 ・・・E
Dを微分すると、

ここで、とすると、このとき、より、

 ・・・F
E−Dより、ばねの
長さは、
 ・・・G
時刻の後、次にばねが自然長になる時刻は、から半周期後で、
をGに代入すると、時刻tにおけるばねの長さは、
 ( )
......[] ( F)
別解.においては、ばねの縮み最大値dとなり、物体Aは物体Bに対して静止の状態、つまり、物体Aと物体Bは同じ速度uになります。との運動量保存より、
力学的エネルギー保存より、

 ( (a))

(e) における物体A速さは、1周期前ののときの速さに等しく、0 ......[]

(f) 撃力を受ける直前に系の運動量は、物体B速度 (での速度に等しい)なので、です。ばねの中点が静止する、ということは、系の運動量0になる、ということです。従って、与える撃力の力積の大きさは、 ......[]


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