東工大物理'08年前期[2]

nモルの単原子分子理想気体を考える。気体の圧力をp,体積をV,温度をT,気体定数をRとしたとき、状態方程式はで与えられ、内部エネルギーEである。以下では、その理想気体が、なめらかに動くピストンの付いた密閉された容器に入れられ、断熱変化する過程を扱うことにする。

[A] ピストンを少し動かすことにより、内部エネルギーがEからへ、体積がVからへ、温度がTからへそれぞれ微小変化した。
(a) の間に成り立つ関係式を求めよ。
(b) TVを用いて表せ。
(c) Caを定数として、TVとの間にの関係が成り立つと仮定する。このときとなることを示せ。ただし、微小量eおよび実数bについて、としてよい。
(d) 問い(b)(c)の結果より、aの値を求めよ。

[B] ゆっくりとした状態変化により、この理想気体が体積,温度の状態から体積がの状態に移った。
(e) 設問[A]の結果に基づき、その間に気体が行った仕事をnRTを用いて表せ。

解答 断熱変化の問題としては、よくあるタイプの問題です。

[A](a) 気体がした仕事内部エネルギーの変化は断熱変化なのでの移動は0で、熱力学第一法則より、
......[] ・・・@
(b)  ( @)
これと、状態方程式より、

......[]
(c) 問題文の式: ・・・A において、体積のとき、温度として、
 ・・・B
B÷Aより、
Aより、
(d) (b)(c)より、
......[]

[B](e) Aでとして、
体積のとき、温度だから、 ・・・@
体積のときの温度として、 ・・・A
A÷@より、

これより、気体が行った仕事Wとして、熱力学第一法則より

......[]


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