東工大物理'07年前期[1]

ばねと摩擦の力によって生じる振動現象に関連した以下の問いに答えよ。
[A] 図1のように、水平方向に一定の速度Vでゆっくりと動くベルトコンベヤーの上に、質量mの箱が置かれている。天井には梁(はり)があり、箱は、この梁とばね定数kの水平なばねでつながれている。ばねが自然の長さのときの箱の位置を原点として、水平方向右側が正になるように座標軸xをとる。ただし、この箱の底面はベルトから離れることがない。また、箱とベルトの間の静止摩擦係数をm,動摩擦係数をとし、重力加速をgとする。
(a) 時刻において箱は原点にあり、ベルトに付着して速度Vで移動している。その後、ある時刻に箱はベルトから滑り出した。この滑り出した時刻における箱の座標とばねの持つ弾性エネルギーを求めよ。
(b) 滑っているときの箱の運動は、ある座標を中心とした周期がの単振動の運動方程式によって表される。ただし、1周期分の振動をする前に、箱は速度がベルトの速度Vと同じになった時点で、静止摩擦力によって再びベルトに付着することになる。箱の加速度をaとして、この滑っている状態における箱の運動方程式を書け。また、上記のを求めよ。
(c) 前問において、箱がベルトに再び付着する座標を求めよ。
(d) この後、箱はベルトに付着したまま速度Vで座標まで移動し、そこで滑りはじめ、座標でベルトに再び付着するという振る舞いを繰り返す。を満たす場合について、mを用いてこのくり返しの周期Tを表せ。ただし、箱が滑っている間の時間は、箱がベルトに付着して移動している時間に比べて無視できるほど短いものとする。

[B] 今度は、前問[A]と同じ箱が2つあり、図2のように、天井の2つの梁とばね定数のばねでそれぞれつながれている。さらに、この2つの箱どうしは、ばね定数のばねによってつながれている。ベルトは一定の速さVでゆっくりと動いている。以下の問いでは、,およびの条件を満たす場合を考える。ただし、2つの箱をつなぐばねは梁に接触することはない。
(e) ある時刻で、2つの箱はベルトに付着しており、3つのばねは自然の長さであった。その後、左右どちらかの箱が最初に滑り出し、再びベルトに付着した。この間、もう一方の箱がベルトに付着したままであるとき、ばね定数が満たすべき条件をを用いて表せ。ただし、箱が滑り出してから付着するまでの時間は短く、その間のベルトの動きは無視できるものとする。
(f) 2の設定で2つの箱の運動を観察し続けたとき、どのような動きが見られるか。箱どうしをつなぐばねが、他のばねに比べて非常に弱い場合と非常に強い場合について予想されることを90文字以内で答えよ。

解答 [A]は、時々見かけるベルトコンベアの問題ですが、[B]は難しく、かなり考え込みます。
[A](a) 箱が滑り出す限界での摩擦力最大静止摩擦力 (右向き)です。これと弾性力 (左向き)との力のつり合いより、
......[]
弾性エネルギーは、
......[]

(b) 滑り出した後、箱に働く摩擦力は、動摩擦力 (右向き)です。箱の位置xのとき、ばねの伸びxで、弾性力 (なら左向き)です。
運動方程式は、 ......[]

この式は、角振動数単振動を表します。
振動中心は、 ......[]
単振動の周期は、 ......[]

(c) 滑り出した後、箱はさらに右に移動し、単振動の振動端に至ります。その後、ばねが縮み始めて、箱は左に移動し、逆側の振動端に至ります。再び、右に移動するようになった後、ベルトに追いついて速度Vになったところで、箱は再びベルトに付着します(このとき、箱に働く摩擦力静止摩擦力に変わります)
滑り出したとき()の箱の速度Vで、のときの箱の速度Vなので、単振動の運動の対称性より、
(右図参照)
......[]

(d) 箱が滑っている間の時間を無視するということは、くり返しの周期Tは、からまで、箱が速度V等速度運動する時間になります。のとき(c)よりです。従って、
......[]

[B](e) 左の箱を箱1,右の箱を箱2,箱1,箱2につながっているばねをばね1,ばね2 2つの箱の間のばねをばね0,と呼ぶことにします。また、箱1,箱2に働く静止摩擦力とします。
はじめのうちは、箱1,箱2ともにベルトに付着して動くので、ばね0はずっと自然長のままで、箱1,箱2は、ばね0から弾性力を受けません。
また、箱
1,箱2等速度運動するので、力のつり合いが成立し、箱1の位置をxとして(従って、ばねの伸びもx)
1
2
1,箱2がベルトに対して滑らない条件(摩擦力を参照)
1
2
なので、
x0から大きくなっていくとき、箱1の条件の方が先に限界に達します。ということは、先に滑り出すのは箱1です。
1において滑り出すとして、 (滑り出す限界)
 ・・・@
1がベルトに対して遅れはじめ、再びベルトに追いついてベルトに付着するまでのベルトの動き(即ち、箱2の動き)を無視するので、この間のばね0の伸び縮みは箱1の変位で決まることになります。
従って、箱
1は、ばね0,ばね1伸び縮みに比例したを受けて運動することになり、箱1の運動を[A]と同様に単振動と考えることができます。
単振動の振動中心は、力のつり合いの位置になりますが、滑っている間、
位置xにいる箱1に働くは、右図のように、ばね0,ばね1弾性力動摩擦力です。において、力のつり合いより、
 ・・・A
1が滑り出すと、箱2に働くに、ばね0弾性力が加わります。箱2に関して、力のつり合いの式は、
よって、箱2滑り出さない条件は、
 ・・・B
1が動いて(xが変化して)、この条件がもっとも厳しくなるのは、xが最小になるときです。これは、箱1が左側の振動端に来たときなのですが、振幅を考えるのが少々厄介です。
実は、ベルトの動きを無視するということは、単振動している箱
1速さに比べて、ベルトの速さを無視するということです。箱1が滑り出して単振動に移るときの速さVなので、これを無視するということは、箱1が単振動に移るときの速さはほぼ0であった、つまり、滑り出すとき箱1は単振動の振動端にいたと考えて良いということです。
従って、単振動の
振幅であり、Bの条件が最も厳しくなるとき、ばね0伸び振幅2倍で、Aとより、

これと、@より、Bの条件は、
で割って、分母を払うと、

......[]

(f) (e)の条件が満たされているとき、1回ごとに、ばね0 (振幅2)ずつ伸びるので、いずれ、箱2もベルトに対して滑るようになります。
ベルトがゆっくり動いているので、箱1,箱2とも、ベルトに対して滑っているときの運動は、ほぼ単振動です。
ばね
0が非常に強い(が大きい)ときは、(e)の条件が満たされないかも知れませんが、箱1と箱2がほとんど一体となって動くようになります。
ばね
0が非常に弱いときは、箱1と箱2が連動しなくなり、勝手に動くようになります。

2つの箱はいずれ単振動と等速度運動を周期的に繰り返すようになる。2つの箱をつなぐばねが非常に強いときには、ほぼ一体となって運動し、非常に弱いときには、それぞれ勝手に運動する。 ......[]


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