東工大物理'05年前期[1]

 図1のように、支点Oに一端が固定された長さRのひもに、質量mのおもりが取り付けられている。支点Oを通る鉛直線上、Oから下に距離のところに釘があり、おもりが右側に振れると、図2のようにひもが釘に引っかかる。ただし、とする。
おもりをひもがたるまないように鉛直線
ONの左側で静止させる。このとき、ひもと鉛直線のなす角をとする。この状態で静かに手を離し、おもりを自由に運動させる。
ひもの質量と伸びは無視できるものとし、支点
Oや釘Nも含めて摩擦はないと仮定する。釘とおもりの大きさは無視できるものとする。重力加速度をgとする。
(a) が非常に小さいとき、このおもりが初めて元の位置に戻るまでの時間を求めよ。
(b) 一般の(小さいとは限らない)を考える。手を離してから、おもりが運動し、釘Nの真下に来るまで、ひもはたるまないものとする。おもりが釘Nの真下まで来て、ひもが釘Nに接触する直前と接触した直後のそれぞれについて、支点Oがひもから受ける力の大きさを求めよ。
(c) の場合を考える。おもりが釘Nの右側で、釘Nと同じ高さに達したとき、釘がひもから受ける力の向きと大きさを求めよ。
(d) の場合を考える。ひもがたるまないまま、おもりが釘Nのまわりを一回転するとき、rが満たす条件を求めよ。ただし、おもりとひもは衝突しないものとする。

解答 (a) が微小なとき、おもりの運動は単振動と考えられます。Nに接触する前後においてエネルギーが保存されることに注意すると、手を離してから最下点で釘Nに接触して最高点に達するまでと、最高点から戻り釘Nと離れて元の位置に引き返すまでとは、対称な運動になります。
手を離してからおもりが最下点に達するまでの時間と最下点から元の位置に戻るまでの時間の和は、Oを支点とする単振り子の半周期です。また、おもりが最下点から右に振れて最下点に戻ってくるまでの時間Nを支点とする単振り子の半周期です。単振り子周期の公式より、
......[]

(b) ひもが釘Nに接触する直前、おもりに働くは、右図のように、鉛直上向きの張力Tと鉛直下向きの重力です。
糸に沿う方向のおもりの運動方程式 ・・・@ (等速円運動を参照)
はじめの位置は、最下点より高い位置にあり、最下点を位置エネルギーの基準として、はじめの位置における位置エネルギー運動エネルギー0,最下点における運動エネルギー位置エネルギー0です。よって、はじめの位置と最下点との力学的エネルギー保存より、
・・・A
@に代入して、

支点Oがひもから受けるの大きさもTで、 ......[]

ひもが釘Nに接触する直後、おもりに働くは、鉛直上向きの張力と鉛直下向きの重力です。
おもりの運動方程式
Aより、
支点Oがひもから受けるの大きさもで、 ......[]

(c) Aにおいてとして、
・・・B
Nと同じ高さに達したときのおもり位置をPPにおけるおもりの速さとして、
最下点と
Pとの力学的エネルギー保存より、
Bを用いて、
Pにおいておもりが水平方向に受けるは、右図のように張力のみです。
Pにおける運動方程式
より、
右図のように、釘はひもから水平方向右向き及び鉛直方向上向きに大きさ
を受けるから、その合力を考えて、釘が受けるは、Nを中心に鉛直線ONから反時計回りに回った方向に、大きさ ......[] です。

(d) 最高点におけるおもりの速さとして、
最下点と最高点との力学的エネルギー保存より、
Bを用いて、
最高点においておもりが受けるは、右図のように、鉛直下向きの張力重力
最高点における運動方程式
おもりが
1回転する条件は、であること(不等速円運動を参照)より、
......[]


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