東京工業大学2004年前期物理入試問題

[1]
 図のように3つの天体が互いの万有引力を受けながら原点Oを中心に一定角速度w で同一面上を円運動している。天体1の質量をM,天体23の質量をmとする。その他に天体はないものとする。以下、天体と一緒に回転している観測者の立場から考察し、図中の二つの直交する軸xyは同じ角速度w で回転しているものとする。このように3つの天体が一定角速度で運動するには図の距離abc間にある関係式が満足されていなければならない。万有引力定数をGとする。以下の設問に答えよ。答に天体1と天体2の距離を用いてよい。
(a) 各々の天体間に働く万有引力と、それぞれの天体の遠心力の向きを図中に示し、それらの大きさを記入せよ。
(b) 各々の天体での力のつり合いの式をx軸方向とy軸方向に分解して書け。
(c) 回転の中心O3つの天体の重心になっていることを示せ。
(d) 3つの天体の位置が正三角形の頂点にあることを示せ。
(e) 角速度w GMmaを用いて表せ。
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[2] 図のように一辺Lの正方形で厚さがd3枚の電極板P1P2P3がある。P1P3間には起電力の電池Bが接続されていて、P3は接地されている。3枚の板は平行である。P1P3は固定されており、その間の距離はである。P2は、P1P3の間で上下に動くことができ、P1P2の間隔はxとする。P2の動く速さvは、十分にゆっくりであり、その速さで電荷が動くことにより発生する磁界などは無視できるほど小さい。また板間の距離が0のときは、板同士が接触しており、電気的に互いに同電位になるとする。電池の内部抵抗は無視できるものとする。
LP1P3間の距離に比べて十分大きく、電極間は真空であり、その誘電率はであるとする。
(a) はじめP2P1と接触()させていたが、時刻からP3と接触する時刻()まで一定の速さvP2を下向きに動かした。でのP1の持つ電荷を、P2の電位およびxの関数として表せ。
(b) でのP2の電位xの関数として表せ。
(c) 時刻においてP2の下の面にある電荷とP3の上の面にある電荷は打ち消しあう。続いて時刻から、再びP2を一定の速さvで上向きに動かし、時刻()P1と再度接触させた。でのP2の電位xの関数として表せ。
(d) でのP1の電荷を時刻tの関数として図示せよ。
(e) でのP1の電荷の変化は電池Bから流れこむ電流による。電流計を流れる電流を時刻tの関数として図示せよ。ただし、電流計の内部抵抗は無視できるものとする。P1に向かって流れ込む電流の向き(図の矢印の向き)を正の向きとする。
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[3] 太陽とほぼ同じ質量をもちながら半径は10kmほどしかない高密度の星(中性子星)には、普通の恒星(伴星とよぶ)と万有引力で引き合いながら極めて近い距離で周回運動するものがある。伴星からこの中性子星に降り積もった水素やヘリウムが核融合反応を起こして爆発することがある。この現象を考察する。
(a) 伴星から流れ出した物質が中性子星に落下する。水素原子が無限遠から中性子星に落下すると考えて、表面に達したときの運動エネルギーを求めよ。ただし、水素原子は無限遠では静止していたとする。また、中性子星の半径をR,中性子星の質量をM,水素原子の質量を,万有引力定数をGとする。
(b) 中性子星の表面にたまった水素はX線を放射して運動エネルギーを失う。その水素が核融合反応を起こして爆発した。燃料の水素原子1個あたりどれだけのエネルギーが発生するか。実際の反応は複雑だが、ここではたまった水素の原子核()はすべて
という核反応で鉄の原子核に変わり、生成される陽電子はすべて電子と衝突してエネルギーに変わるものとする。水素原子の質量を,鉄原子の質量を,光速をcとする。
(c) 上の設問(b)において、生成された鉄は単原子の気体になり、爆発で発生したエネルギーは熱となって、生成されたすべての鉄原子に等しく分配されると仮定する。この鉄原子が到達できる中性子表面からの高さの上限を求めよ。
(d) 核融合によって水素が鉄になって発生したエネルギーは鉄原子の熱運動から電磁波の放射に変換され、爆発的なX線放射(X線バースト)として地球周辺の人工衛星から観測される。また、設問(a)で求めた伴星から水素が降り積もることによって発生するエネルギーは定常的なX線放射として観測される(1参照)。核融合爆発によって放射されたエネルギーと前の爆発からこの爆発までの間に定常的に放射されたエネルギーとの比を有効数字1桁で求めよ。ただし中性子星の質量Mkg,中性子星の半径Rmとする。必要に応じて原子核の結合エネルギーのグラフ(2)および以下の物理定数値を用いよ。
電気素量C, 万有引力定数, 光速m/s, 水素原子の質量kg,電子の質量kg, 中性子と陽子の質量の差kg
(e) 太陽とほぼ同じ質量をもちながら地球とほぼ同じ半径をもつ高密度の恒星(白色わい星)の表面でも、伴星から降り積もった水素ガスが突然に核融合反応を起こして、大爆発が起きることがある。このとき、遠方に向かって物質が放出されることが観測されている。しかし中性子星上の爆発では物質の放出現象はほとんど観測されない。この違いが生じる理由を簡潔に説明せよ。

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