東工大物理'03年前期[1]

 図のように、水平な地面に固定された滑らかで直線状のレールの上に台車2(台車1,台車2)が置かれ、それぞれにA君、B君が乗っている。A君と台車1の質量の和は、B君と台車2の質量の和に等しく、Mである。ここでは簡単のため、A君、B君の身体の大きさ、および、2台の台車の大きさはすべて無視し、点と見なせるものとする。また、台車1と台車2の間は質量が無視できるゴムひもでつながれている。このゴムひもは自然長がLで、復元力の比例定数(ばね定数)kである。図のようにレールに沿ってx軸をとる。最初、台車1は座標に、台車2は座標に共に静止していた。以下、台車の速度を答える問題では符号を含めて答えること。また、重力加速度はgとし、空気の抵抗は無視するものとする。
[A] まず、ゴムひもはたるんでいて台車の運動に影響しないとする。
(a) A君が、地面に置いてあった質量mの大きさの無視できるボールをそっと拾い上げ、それをB君に向かって投げた。ボールは地面に静止している人から見て速さ,仰角で飛び出した。このボールをB君はノーバウンドで受け取ることができた。このとき、距離dgを用いて表せ。
(b) A君がボールを投げた直後の台車1の速度B君がボールを受け取った直後の台車2の速度をそれぞれMmを用いて表せ。
[B] B君は、この後、台車2の運動に影響を与えないようにボールをそっと捨てた。ここで、全体(A君、B君、および2台の台車)を一つの物体とみなしたとき、重心は常に台車1と台車2の中点にあり、この重心の速度で表される。重心から見ると、台車1,台車2はそれぞれ同じ速さで反対方向に動いているように見える。
(c) ひきつづき、ゴムひもがたるんでいるとき、重心に対する台車1の相対速度を求めよ。ここでは、求めるべき量を、導出過程においてはまずを用いて表し、最終的にはMmを用いて表すこと。
[C] その後、2台の台車間の距離がLに達し、ゴムひもはピンと張って伸びはじめる。以下の問では、求めるべき量を、導出過程においてはまず、MkLを用いて表し、最終的にはMmkLを用いて表すこと。(ただし、すべての記号を用いるとは限らない。)
(d) ゴムひもの最大の伸びlを求めよ。
(e) 最大に伸びた後、ゴムひもは縮みはじめ、やがて台車1と台車2はぶつかる。最大に伸びたときから自然長にもどるまでの時間,および自然長に戻ってから、台車どうしがぶつかるまでの時間を求めよ。

解答 東工大らしい力学の難問です。誘導に従って考えましょう。

[A](a) Aが投げてからBが受け取るまでの時間tとします。
x軸方向は速度等速度運動なので、

鉛直方向について、投げ上げ時の速度成分,受け取るときの速度成分
等加速度運動の公式より、

......[]

(b) A君について、x軸方向の運動量保存より、
......[]
B
君について運動量保存より、
......[]

[B](c)  (相対速度を参照)

......[] ・・・@

[C](d) まず、地面から見て、力学的エネルギー保存を考えてみます。ゴムひもがちょうど自然長になるまでゴムひもに張力はなく、A君もB君も各々速度等速度運動します。ゴムひもがちょうど自然長になったとき、弾性力位置エネルギー0です。このときの力学的エネルギーは、A君、B君の運動エネルギーのみで、
ゴムひもがぴんと張って以降のA君、B君の運動は、重心から見ると単振動です。同じバネ定数のゴムひもにつながれていて、A君+台車1B君+台車2質量が等しいので、ABの単振動の周期は等しくなります。ぴんと張ってから周期後、ゴムひもの伸びが最大になったとき、A君、B君は、重心に対して静止します。地面から見たA君の速度B君の速度は、重心の速度に一致します。このときの弾性力位置エネルギーはゴムひもの伸びlなので、
これより、力学的エネルギー保存を表す式は、
を代入すると、
移項して、
@より、 ・・・A
この式は、重心から見たときの力学的エネルギー保存を表しています。は、ゴムひもがちょうど自然長になったときの重心から見た
A君、B君の運動エネルギーを表しています。は、ゴムひもの弾性エネルギーを表しています。
Aより、 
() ・・・B
@より、
......[]

(e) 重心から見て、A君とB君が単振動をしており、それぞれが、重心からA君までのゴムひも、重心からB君までのゴムひもにより単振動していると見なすと、それぞれの単振動の振幅です。
また、は、それぞれの単振動の速度の最大値(ゴムひもが自然長になったときの速さ)です。公式が使えるようにBを変形すると、
これより、
A君、B君が行っている単振動の角振動数
最大に伸びたときから自然長にもどるまでの
時間は、単振動の周期に当たります。
......[]

自然長に戻った後は、ゴムひもがたるんで、A君、B君とも等速度運動になります。
A君、B君の速度は、最初に自然長になったときの速度と等大逆向きの速度になり、A君の速度B君の速度になります。
B君から見ると、A君が相対速度 (@より)で、はじめ距離L離れたところから近づいてくるように見えます。
よって、自然長に戻ってから台車どうしがぶつかるまでの
時間
@より、
......[]


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