東京工業大学2003年前期物理入試問題

[1]
 図のように、水平な地面に固定された滑らかで直線状のレールの上に台車2(台車1,台車2)が置かれ、それぞれにA君、B君が乗っている。A君と台車1の質量の和は、B君と台車2の質量の和に等しく、Mである。ここでは簡単のため、A君、B君の身体の大きさ、および、2台の台車の大きさはすべて無視し、点と見なせるものとする。また、台車1と台車2の間は質量が無視できるゴムひもでつながれている。このゴムひもは自然長がLで、復元力の比例定数(ばね定数)kである。図のようにレールに沿ってx軸をとる。最初、台車1は座標に、台車2は座標に共に静止していた。以下、台車の速度を答える問題では符号を含めて答えること。また、重力加速度はgとし、空気の抵抗は無視するものとする。
[A] まず、ゴムひもはたるんでいて台車の運動に影響しないとする。
(a) A君が、地面に置いてあった質量mの大きさの無視できるボールをそっと拾い上げ、それをB君に向かって投げた。ボールは地面に静止している人から見て速さ,仰角で飛び出した。このボールをB君はノーバウンドで受け取ることができた。このとき、距離dgを用いて表せ。
(b) A君がボールを投げた直後の台車1の速度B君がボールを受け取った直後の台車2の速度をそれぞれMmを用いて表せ。
[B] B君は、この後、台車2の運動に影響を与えないようにボールをそっと捨てた。ここで、全体(A君、B君、および2台の台車)を一つの物体とみなしたとき、重心は常に台車1と台車2の中点にあり、この重心の速度で表される。重心から見ると、台車1,台車2はそれぞれ同じ速さで反対方向に動いているように見える。
(c) ひきつづき、ゴムひもがたるんでいるとき、重心に対する台車1の相対速度を求めよ。ここでは、求めるべき量を、導出過程においてはまずを用いて表し、最終的にはMmを用いて表すこと。
[C] その後、2台の台車間の距離がLに達し、ゴムひもはピンと張って伸びはじめる。以下の問では、求めるべき量を、導出過程においてはまず、MkLを用いて表し、最終的にはMmkLを用いて表すこと。(ただし、すべての記号を用いるとは限らない。)
(d) ゴムひもの最大の伸びlを求めよ。
(e) 最大に伸びた後、ゴムひもは縮みはじめ、やがて台車1と台車2はぶつかる。最大に伸びたときから自然長にもどるまでの時間,および自然長に戻ってから、台車どうしがぶつかるまでの時間を求めよ。
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[2] 図のように、方向を向いている磁界の磁束密度の大きさBが、xy平面ででは (定数)、それ以外ではとなっている空間がある。この空間に底辺の長さが,高さがaであるような直角二等辺三角形DEF(頂点Dが直角)1回巻きコイルLを、そのコイル面がxy平面と一致するように置く。そして図のように線分EFの中点から頂点Dに向かう方向がx軸と一致するようにして、方向に一定の速さvで移動させる。なお、コイルの抵抗をRとし、導線の太さは無視する。設問(a)(d)では、コイルの自己インダクタンスは無視するものとする。また、時刻では頂点Dにある。
(a) 下記の枠内に入る式を答えよ。
コイルLを貫く磁束Fは、方向を正としてではとなり、ではとなる。では、時刻tから微小時間だけ経過してになったときの磁束の変化量となる。このときの項に比較しての項が小さいとして無視すれば、コイルに誘起される誘導起電力は、DEFDに沿って発生する起電力を正としてと表すことができる。同様にして、での誘導起電力はとなる。
(b) でコイルLに流れる電流Iの変化を解答欄のグラフに示せ。この問での電流Iの大きさの最大値を求めよ。ただし、DEFDに沿って流れる電流の向きを正とせよ。
(c) でコイルLがジュール熱として消費している電力Pを、時刻tの関数として表せ。
(d) コイルLを一定の速さvで移動させるために外から加えている力Fを、で時刻tの関数として求めよ。ただし、方向に加えている力を正とする。またでコイルLに加えている力Fを、方向を正として解答欄のグラフにおおよその形を示せ。
(e) つぎに、コイルLの自己インダクタンスが無視できない場合を考える。のときの電流の大きさは、同じ時刻tで比較した場合、上記(b)で調べた電流の大きさよりも大きくなるか、小さくなるか、あるいは変わらないかを答えよ。またそのように考えた理由を50字以内で記せ。
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[3] 図に示すように、縦型円筒容器の内部に滑らかに動くピストンが付いている。円筒容器上面とピストンの間にはばねが取り付けられている。円筒容器とピストンは断熱材でできている。ピストンおよびばねの質量は無視できるものとする。ピストンの断面積はである。円筒容器のピストンの上側と下側には気体が充満している。ピストン下側の気体の量はである。気体がピストンと容器内壁の間をすり抜けることはない。ピストンの下側の気体は単原子分子の理想気体であり、気体定数はとする。また、定積モル比熱はである。図の中のばねのばね定数はとする。円筒容器の底部に質量の金属球が入っている。ピストン下側の容積に比べて金属球の体積は無視できるものとし、以下の設問に答えよ。ただし、設問(f)以外は、まずその設問までに出てきた記号を使って式の形を導け。次に、数値を代入して答えよ。その際、答えは四捨五入の上、有効数字2桁にせよ。
[A] 初期状態(状態[0])では、金属球も含めた全体はの一様温度に保ってあり、ピストンの下側と上側が同じ圧力でつりあっている。そのときの円筒容器底面からピストン下面までの高さはであり、ばねの長さは自然長であった。
(a) 初期状態における圧力を求めよ。
[B] ピストンを振動させないよう配慮しながらバルブを開いてピストンの上側の気体を取り除き真空にしたところ、ピストンが上昇し、ピストンの下面までの高さがのところでつりあって静止した(状態[1])。ピストンの下側の気体の圧力は,温度はとなった。まだこの時点では金属球と気体との間には熱のやりとりはないとする。
(b) 圧力を求めよ。
(c) 温度を求めよ。
[C] その後、金属球と気体との間に熱のやりとりがあり、しばらくすると気体と金属球の温度がの等温になった(状態[2])
(d) このときのピストンの下面までの高さを求めよ。
(e) 状態[1]から状態[2]への変化に伴うピストンの下側の気体の内部エネルギーの変化を求めよ。
(f) ピストン下面までの高さhを横軸に、気体の圧力Pを縦軸にとり、状態[0]、状態[1],状態[2]の点を解答欄のグラフに書き込め。さらに、状態の変化に沿って線を描け。
(g) 状態[1]から状態[2]への変化でピストンの下側の気体が外部に行った仕事W[J]を求めよ。
(h) 金属球の単位質量あたりの熱容量cを求めよ。
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