東工大物理'02年前期[1]

 図に示す平行板コンデンサーの極板は、一辺の長さがaの正方形である。図の中に斜線を引いて示してある導体板は、一辺の長さがaの正方形で厚さはである。図の中の電池の起電力はである。
コンデンサーの下側の極板の位置は固定されている。下側の極板の左側を図のように
xy座標の原点Oとする。x軸とy軸に垂直な方向にz軸をとり、点Oz軸の原点とすると、両極版と導体板はいずれもからまでの範囲にある。導体板はからの間にある。
外力を加えながらコンデンサーの上側の極板をの状態@からの状態Aまで十分ゆっくり移動させる。続いて、上側の極板の位置も固定して、導体板を
x方向に十分ゆっくり移動させて状態Bにする。このとき導体板の右端はからまで移動する。
コンデンサーの極板間の距離が
bで極板間に導体板が入っていないときの電気容量をCとする。abに比べて十分に大きいものとする。以下の問いに、変数としては導体板の右端の位置x,上側の極板の位置y,定数としてはabCのみを用いて答えよ。

[A] スイッチSを閉じてコンデンサーを充電させた後、このスイッチを閉じたまま状態@からA,そして更に状態AからBへ変化させる。
(a) @からAへの途中でのコンデンサーの電気容量を求めよ。
(b) AからBへの途中でのコンデンサーの電気容量を求めよ。
(c) @からAへの途中においてコンデンサーにたくわえられている静電エネルギー,AからBへの途中においてコンデンサーにたくわえられている静電エネルギーをそれぞれ求め解答欄に書け。そして、それらを解答欄の例にならって横軸の始点と終点とその中間点の座標およびそれらに対応する縦軸の座標を明示してグラフで示せ。方向を示すためにグラフに矢印もつけよ。
(d) 極板や導体板を十分ゆっくりと移動させるために加える外力の方向と極板や導体板の移動の方向が同じ場合は外力が正の仕事をなしたと呼ぶ。方向が反対な場合は外力が負の仕事をなしたと呼ぶ。@からAへの変化、およびAからBへの変化のそれぞれについて、次のア,イ,ウ,エの中から当てはまるものを1つ選べ:
ア:外力がなした仕事は正で、コンデンサーの静電エネルギーは増加した。
イ:外力がなした仕事は正で、コンデンサーの静電エネルギーは減少した。
ウ:外力がなした仕事は負で、コンデンサーの静電エネルギーは増加した。
エ:外力がなした仕事は負で、コンデンサーの静電エネルギーは減少した。
(e) @からAへ変化した際に電池がなした仕事,およびAからBへ変化した際に電池がなした仕事を求めよ。

[B] 上の[A]の状態@のようにコンデンサーを充電させた後、スイッチSを開き、状態@からAへ、そして更にAからBへ変化させる。
(f) @とAの途中でのコンデンサーの静電エネルギー,およびAとBの途中でのコンデンサーの静電エネルギーを求めよ。
(g) @からAへ変化したときに外力がなした仕事,およびAからBへ変化したときに外力がなした仕事を求めよ。

解答 コンデンサーの極板を移動させたり、導体板を挿入するとき、電池をつないだままのときと、電池の接続を切ってしまうときとでどう違うのか、という問題です。

[A](a) 極板間の空気の誘電率をとすると、状態@においてコンデンサーの静電容量は、
@からAの途中での極板間距離yなので、
......[]

(b) 導体板が挿入されている部分の面積,コンデンサーの上側極板と導体板との間の極板間距離なので,この部分の静電容量は、
コンデンサーの下側極板と導体板との間の静電容量
両者は直列に接続されているので、
合成容量として、
 (合成容量の公式を参照)


導体板が挿入されていない部分の面積極板間距離で、この部分の静電容量は、
は並列に接続されているから、
 (合成容量の公式を参照)
......[]
(c) 電池が接続されたままなので、コンデンサーの極板間電圧は一定値で、@からAの途中では、静電エネルギー ......[] (静電エネルギーについては、コンデンサーの過渡現象を参照)
始点ではとして,終点ではとして,中間点ではとして
AからBの途中では、
静電エネルギー ......[]
始点ではとして,終点ではとして,中間点ではとして
グラフは右図。

(d) @からAの途中も、AからBの途中も、ともに、電圧一定のもとでコンデンサーの静電容量が増大するので、コンデンサーが蓄える電気量が増大し、電池がコンデンサーに正の仕事をします。この仕事が、静電エネルギーの増大分と極板を近づける仕事に使われ、外力仕事を受けることになるので、外力仕事は負です。従って、@からAが、ウ ......[],AからBも、ウ ......[]

(e) @においてコンデンサーが蓄えている電気量は、
Aにおいて、コンデンサーの静電容量(a)の結果でとして、
このときコンデンサーが蓄えている
電気量は、
@からAまでの
電気量の増加は、
@からAへ変化した際に電池がなした
仕事 ......[] (電池のした仕事については、電位・電圧を参照)

Bにおいて、コンデンサーの静電容量(b)の結果でとして、
このときコンデンサーが蓄えている
電気量は、
AからBまでの
電気量の増加は、
AからBへ変化した際に電池がなした
仕事 ......[]

[B](f) @において、コンデンサーは、電荷を蓄えています。ここで、スイッチSを開くと、この電荷が極板に取り残されます。この後、コンデンサーの静電容量が変化すると、極板間の電圧が変化することになります。
@からAの途中では、静電エネルギー ......[]
AからBの途中では、静電エネルギー ......[]

(g) @における静電エネルギー
Aにおける静電エネルギーは、のとき、
Bにおける
静電エネルギーは、のとき、
@からAまでで、
静電エネルギーの変化は、 (減少した)
静電エネルギーは、コンデンサーが極板を移動させる仕事の分だけ減少します。外力は、だけ仕事を受けるので、外力のした仕事は、 ......[]
AからBまでで、静電エネルギーの変化は、 (減少した)
これも、@→Aと同様に、外力のした仕事は、 ......[]

[A]では、電池を接続したままなので、電池が仕事をして、コンデンサーに静電エネルギーを供給し(静電エネルギーは増加します)、極板を引き寄せたり、導体板を引き込む仕事をします。
[B]では、電池は接続されていないので、コンデンサーが仕事をして極板を引き寄せたり、導体板を引き込む仕事をします。従って、コンデンサーの静電エネルギーは減少します。


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