京大物理'12[1]

次の文を読んで、  に適した式を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、  はすでに  で与えられたものと同じ式を表す。また、問1,問2では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。

質量,半径の円盤状の物体
1,物体2,物体3の運動を考える。図1のように、物体1は水平な床の上に置かれている。物体1の上面は床に平行で、物体1の上に物体2が置かれている。物体1と物体2は互いに固定されておらず、各々の中心がx座標の原点で静止している。時刻0において物体3が左から物体1に衝突した。衝突後、物体1が動き出し、物体2は物体1との接触面上を滑り出した。衝突にかかる時間は十分短く、物体3が物体1に衝突した直後の物体2の床に対する速度は0であるとする。真上から見ると、物体1,物体2,物体3の中心は常に同一直線上にあるものとする。物体1と床の間の動摩擦係数を,物体1と物体2の間の動摩擦係数,物体1と物体3の間の跳ね返り係数をe,重力加速度をgとする。
位置、速度、加速度は右向きを正にとり、速度および加速度は床に対するものと定義する。また、空気抵抗は無視する。


(1) 物体3が物体1に衝突する直前の物体3の速度をとする。物体3が物体1に衝突した直後の物体1の速度は ア ,物体3の速度は イ である。物体2は物体1の上面からはみ出すことなく運動し、時刻において物体1と物体2の相対速度が0となった。その後、両者は一体となって運動を続け、時刻において静止した。時刻0からまでの物体1と物体2の加速度をとし、からまでの物体1の加速度をでの物体1の速度をとする。また時刻での物体1と物体2の中心の位置をとし、での物体1の中心の位置をとする。は、gのうち必要なものを用いると、 ウ  エ  オ と表せる。
1 図2を解答欄に書き写して、時刻0からまでの物体1,物体2の速度、加速度のグラフを描け。ただし、物体1と物体2のグラフは1つのグラフにまとめて作成し、(a)には横軸が時刻、縦軸が速度のグラフを、(b)には横軸が時刻、縦軸が加速度のグラフを描け。またグラフ中に、vを明示せよ。


およびvを用いると、 カ  キ と表せる。またvのうち必要なものを用いると、 ク と表せる。さらに、 ウ  エ  オ  カ  ク に代入することで、は、vgのうち必要なものを用いると、 ケ  コ と表せる。
「物体
2は物体1の上面からはみ出すことなく運動」するという条件は、およびvgのうち必要なものを用いると、 サ と表せる。または、vgのうち必要なものを用いると、 シ と表せる。

(2) 物体1と物体2の運動をエネルギー保存の観点から考える。物体3が物体1に衝突した直後の物体1と物体2の運動エネルギーの総和は、vgのうち必要なものを用いると、 ス と表せる。一方、時刻0からまでに、物体1と床の間の摩擦で失われるエネルギー,および物体1と物体2の間の摩擦で失われるエネルギーは、gのうち必要なものを用いると、 セ  ソ と表せる。上で求めたは、物体3が物体1に衝突した直後の物体1と物体2の運動エネルギーの総和 ス  セ  ソ の間に成り立つ関係を利用することでも求めることができる。

2 時刻は動摩擦係数に依存するものの、動摩擦係数に依存しない。その理由を運動量の変化の観点から述べよ。

解答 ()は、工夫しないと計算が膨大になります。最初、物体3と物体1が衝突したとき、物体1と物体2は固定されていないので、動き出すのは物体1だけであることに注意してください。

(1)() 衝突直後の物体3速度として、衝突直前直後の運動量保存より(衝突・合体・分裂の問題を参照)
 ・・・@
反発係数の式
 ・・・A
これを@に代入して、

......[
]
() ()をAに代入して、
......[]
() において、物体1に働くは、物体1が物体2に及ぼす左向きの摩擦力,床が物体1に及ぼす左向きの摩擦力です。物体1運動方程式は、
・・・B
......[]
() において、物体2に働くは、物体2が及ぼす右向きの摩擦力です。物体2の運動方程式は、
 ・・・C
......[]
() においては、物体1と物体2は一体になって運動します。これに働くは、床からの左向きの摩擦力です。物体1+物体2の運動方程式は、
 ・・・D
......[]

1 物体2は、において速度0ですが、正の加速度により次第に速度が大きくなり、で物体1速度と一致し、以後においては、物体1+物体2で一体で運動します。
グラフは、右図。

() 等加速度運動の公式より、において、物体1速度と物体2速度が一致するので、

......[
]
() における物体1速度は、
 ・・・E
......[]
() において、物体1+物体2速度0になるので、()等加速度運動の公式より、

......[]
() B,Cを用いて、
 ・・・F
よって、
......[]
() より、
......[]
() において、物体1から見た物体2相対加速度です。からまでで、相対速度は、から0まで変化します。この間に物体2が物体1に対してdだけ移動するとして、等加速度運動の公式より、

「物体
2は物体1の上面からはみ出すことなく運動」するという条件は、
......[]
() 時刻での物体1の中心の位置は、問1(a)の物体1vtグラフのの部分とv軸,t 軸で囲まれる部分の面積になりますが、これを黄色着色部と黄緑色着色部に分けて考えると、
 ( E,())

 ( F,())
......[]

(2)() 衝突直後に、物体2は静止しているので、物体1と物体2運動エネルギーの総和は、物体1運動エネルギーのみです。
......[]
() 時刻0からまでに、物体1と床の間の摩擦で失われるエネルギーは、大きさ摩擦力距離動く間にする仕事を考えて、
......[]
() 物体1と物体2の間の摩擦で失われるエネルギーは、大きさ摩擦力距離動く間にする仕事を考えて、
......[]

2 物体1と物体2の間に働く力は内力なので、物体3も含めた系全体の運動量保存には寄与せず、時刻は動摩擦係数には依存しない。 ......[]


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