京大物理'11[3]

次の文を読んで、  に適した式を、それぞれの解答欄に記入せよ。また、問1,問2については、指示にしたがって、解答を解答欄に記入せよ。

断面積
Sの十分に長い両端が開口しているシリンダーを考える。図1のように、シリンダーの片方は質量mのピストンでふさがれており、もう一方は栓を用いて中の気体を封じ込めることができる。この栓とシリンダーの間の最大摩擦力の大きさはFである。シリンダー、栓、ピストンは、いずれも断熱材でできており、これらは熱を通さない。シリンダーの内部には、温度制御装置が組み込まれており、中の気体を加熱または冷却することができる。シリンダー、栓、ピストン、温度制御装置の熱容量は無視できるものとし、温度制御装置の体積は十分に小さく、ピストンの運動を妨げないものとする。また、ピストンとシリンダーの間の摩擦は無視できるものとする。
いま、このシリンダー、栓、ピストンからなる容器の中に
1molの単原子分子からなる理想気体が封入されている。以下、外気の圧力を,気体定数をRとする。

(11) 初期状態(状態A)では、容器内部の気体の温度は,圧力は外気と同じであった。この状態Aからピストンの位置を固定したまま、温度制御装置で中の気体を加熱していったところ、ある温度で栓が動き始めた。この動き出す直前の状態をBとする。そのときの温度は あ であり、状態Aから状態Bに変化させるために要した熱量は い である。

(12) 再び状態Aに戻し、容器内の圧力が常にとなるようにピストンの位置を調節しながら温度制御装置で熱を加えたところ、容器内の気体の体積が8倍になった(状態C)。状態Aから状態Cまでの気体の内部エネルギーの変化量は う であり、温度制御装置が与えた熱量は え である。

以下では、必要ならば、「単原子分子からなる理想気体の断熱変化では、は一定である」ことを用いよ。

(13) 再び状態Aに戻し、今度は温度制御装置は使わず、断熱した状態でピストンを十分にゆっくりと動かし、気体を体積が8倍になるまで膨張させたところ、栓はまだ静止したままの状態であった。この状態をDとすると、その温度は お であり、AからDへの変化で、容器の中の気体が外にした仕事は か である。また、栓が動かなかったことから、最大摩擦力F き より大きいことがわかった。

1 容器に封入した理想気体を、状態ACDAの順で十分にゆっくりと変化させる熱機関を考える。ただし、ACCDDAのプロセスは、それぞれ定圧変化、定積変化、断熱変化である。この熱機関1サイクルの状態の変化を、横軸を体積、縦軸を圧力として図示せよ。また、この熱機関の熱効率を導出の過程とともに示し、有効数字2けたで求めよ。

(2) 再び状態Aに戻し、次に温度制御装置を切ったままピストンを静止位置から少し動かして放すと、栓は動かないままピストンは振動を始めた。このとき、ある時刻における圧力をp,ピストンの加速度をaとすると、ピストンの運動方程式は、 く となる。ただし、ピストンの加速度は内部の気体が膨張する向きを正とせよ。ここで、振動中において、容器中の気体の圧力と温度は各瞬間で一様であるとみなせるものとする。

2 (2)においてピストンの状態Aの位置からの変位は十分に小さく、振動は単振動であると仮定して振動周期を求めよ。ただし、導出の過程も示せ。ここで必要ならば、絶対値が十分小さな実数ε ()に対し、と近似できることを用いてよい。ただし、αは任意の実数である。

解答 定積変化、定圧変化、断熱変化の基本問題に単振動がプラスされた融合問題です。

(11)() 初期状態(状態A)でのシリンダーの気体存在部分の長さdとして、状態方程式
 ・・・@
栓が動き出す直前(状態B)圧力温度として、状態方程式
 ・・・A
A÷@より、 ∴
動き出す直前に、栓に働く静止摩擦力の大きさはFです。状態Aから状態Bまで加熱しているのでより、静止摩擦力の向きは左向きです。このとき、栓に働く力のつり合いより、
......[]
() 状態Aから状態Bまで気体は定積変化をします。状態Aから状態Bに変化させるために要した熱量は、定積モル比熱の式(単原子分子理想気体なので定積モル比熱)より、()の結果を用いて、
......[]

(12)() 状態Aから状態Cまで気体は定圧変化をします。状態Cでのシリンダーの気体存在部分の長さです。このとき、温度として、状態方程式
 ・・・B
B÷@より、
状態
Aから状態Cまでの気体の内部エネルギー変化量は、
......[]
() 状態Aから状態Cまでの間に気体がした仕事は、
 ( @) ・・・C
熱力学第1法則より、温度制御装置が与えた熱量は、()の結果を用いて、
......[]
別解.単原子分子理想気体では、定圧モル比熱です。定圧モル比熱の式を用いると、温度制御装置が与えた熱量は、

(13)() 状態Dにおける圧力温度とすると、状態Dでの状態方程式
 ・・・D
D÷@より、 ∴  ・・・E
問題文の「は一定」
(ポアッソンの関係式)を用いて、
 ∴  ・・・F
Eより、 ......[]
() 容器の中の気体が外にした仕事は、状態Aから状態Dまでの内部エネルギーの変化として、熱力学第1法則より、
()の結果を用いて、
......[]
() このとき栓に働く静止摩擦力fとして、栓に働く力のつり合いは、
Fを用いて、
栓が動かないので、 ......[]

1 熱機関のACDAの状態変化において、は、と変化します。図示すると右図太線。
状態ACDAの状態変化の中で吸熱変化はACで、ACの変化で気体が吸収するは、()より
気体がする
仕事は、ACの変化でCよりCDの定積変化では0DAでは()のの結果(AD)の符号を変えて
状態
ACDAで気体がする仕事は、
熱機関の1サイクルの熱効率は、
......[]

(2)() ピストンに働くは、気体が膨張する向きに,これと逆向きにです。
ピストンの運動方程式 ・・・G
......[]

2 ピストンが、気体が膨張する向きに、初期状態(状態A)からxだけ移動しているとき、シリンダーの気体存在部分の長さ,「は一定」(ポアッソンの関係式)より、
問題文に指定されている近似を用いて、
Gに代入して、

これは、角振動数単振動を表します。
@より、
よって、単振動の
周期Tは、
......[]


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