京大物理'11[2]

次の文を読んで、  に適した式を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、  はすでに  で与えられたものと同じものを表す。また、問1では指示にしたがって、解答を解答欄に記入せよ。

1のように長方形の導線ABCDからなるコイル1と、正方形の導線EFGHからなるコイル2xy平面内に置かれている。コイル2の中心は原点Oにあり、導線FGEHx軸に平行、導線EFGHy軸に平行な直線で、長さはいずれもである。コイル2の電気抵抗はRである。コイル1の中心はx軸上の位置にあり、導線ABCDの間隔はでそれぞれy軸に平行な直線である。2つのコイルは重ならない()とする。コイル1の導線ABCDの長さは、コイル1の幅やコイル2の一辺,および、コイル1とコイル2の中心間の距離Lに比べて十分大きい。したがって、x軸の近くでは、導線ADBCに流れる電流がつくる磁界(磁場)の強さは、導線ABCDに流れる電流がつくる磁界に比べて十分小さく、無視できる。また、x軸の近くでは、導線ABCDに流れる電流がつくる磁界は、無限に長い直線電流がつくる磁界とすることができる。これらのコイルは真空中に置かれており、真空の透磁率をとする。

(1) まず、コイル1ADCBの向きに電流を流したときにできる磁界について考えよう。導線ABに流れる電流x軸の近くの位置 (ただし、を除く)につくる磁界は、紙面に垂直に裏から表に向かう向きを正として、 イ である。x軸の近くの位置 (ただし、を除く)にコイル1がつくる磁界は、導線ABCDの寄与を加えて ロ となる。

(2) コイル1に流れる電流がつくる磁界のもとで、中心が原点にあるコイル2を貫く磁束について考えよう。ただし、以下では、はコイル2の一辺に比べて十分大きいとし、に比べて十分小さいような原点付近の位置における磁界を考える。ここで、実数ε の絶対値が1に比べて十分小さいときに成立する近似式を用いると、コイル1ADCBの向きに電流を流したとき、導線ABに流れる電流がつくる磁界 イ は、xy平面内の原点付近の位置では、紙面に垂直に裏から表に向かう向きを正として、 ハ と近似できる。この近似を導線CDにも適用すると、コイル1に流れる電流がxy平面内の原点付近につくる磁界は ニ のようにx1次関数で近似できる。以下でも、bに比べて十分小さく、近似式 ニ が成立する範囲内で考える。このとき、コイル2を貫く磁束は、コイル2の中心での磁束密度に、コイル2の面積を乗じた値として計算できるので、 ホ となる。コイル1に流れる電流が時間変化するとき、コイル2に誘導起電力が発生する。このとき、コイル1とコイル2からなる回路の相互インダクタンスは ヘ となる。

(3) 次に、コイル1ADCBの向きに流す電流は一定とし、正方形コイル2x軸に沿って正の向きに一定の速さvで移動させる場合を考えよう。時刻tにおけるコイル2の中心のx座標をとする。コイル2の運動は原点付近に限り、2つのコイルは重ならず、また、(2)と同様に、bに比べて十分小さく、近似式 ニ が成立するものとする。時刻tにおいて、コイル2を貫く磁束は ト となる。コイル2の電気抵抗の値はRであるから、コイル2に生じる誘導起電力によりコイル2に流れる電流は、EFGHの向きを正として チ となる。ただし、コイル2の自己インダクタンスは無視できるとする。このとき、単位時間当たりにコイル2に発生するジュール熱は リ となる。

1 時刻tにおいて、コイル1に流れる電流のつくる磁界からコイル2全体が受ける力の大きさと向きを、導出の過程も示して求めよ。

解答 相互インダクタンスを求めるのでやや目新しいですが、問題そのものは基本的です。

(1)() 導線ABを流れる電流が位置に作る磁界は、右ねじの法則より、のとき紙面に垂直に裏から表に向かう向きで、位置と導線ABとの距離であることから、 ......[] (電流のつくる磁界を参照)
() 導線CDを流れる電流が位置に作る磁界は、右ねじの法則より、のとき紙面に垂直に表から裏に向かう向きで、位置と導線CDとの距離であることから、 ()
導線ABと導線CDの寄与を加えて、位置にコイル1がつくる磁界は、
......[]

(2)() 微小量εと見て問題文の近似式を使うと、導線ABを流れる電流が原点付近の位置に作る磁界は、
......[]
() ()と同様にして、導線CDに流れる電流が原点付近の位置に作る磁界は、
導線ABと導線CDの寄与を加えて、コイル1が原点付近の位置に作る磁界は、


......[]
() コイル2の中心での磁界は、()の結果でとして磁束密度,コイル2面積,よって、コイル2を貫く磁束は、 ......[]
() ()の結果を用いると、時間の間に電流変化したときにコイル2に発生する起電力の大きさVは、電磁誘導の法則より、
......[]

(3)() ()の結果でとして、コイル1が原点付近の位置に作る磁界は、
()と同様にして、コイル2を貫く磁束は、
......[]
() コイル2を貫く磁界は、導線ABが導線CDよりもコイル2の近くにあるので、導線ABの影響を受けて導線ABがコイル2の中心に作る磁界の向き、つまり正の向きとなり、コイル2x軸正方向に移動すると、コイル2を貫く磁束は増加するので、負の向きの磁界を作る向き(レンツの法則を参照)、つまり、EHGFの向きに誘導電流を流す向きに誘導起電力が発生します。EFGHの向きの電流を正としているので、誘導電流の向きは負です。
コイル2に発生する起電力の大きさVは、電磁誘導の法則より、
コイル2に流れる負の電流Iは、オームの法則より、
......[]
() 単位時間当たりにコイル2に発生するジュール熱は、
......[]

1 ()で求めた単位時間当たりのジュール熱は、コイル2x軸に沿って正の向きに一定の速さvで移動させる外力F仕事率に等しくなります。
より、
コイル2は等速度運動するので、力のつり合いより、コイル1に流れる電流のつくる磁界からコイル2全体が受けるは、この外力Fと等大逆向きで、大きさは、
......[]
向きは、x軸負方向 ......[]


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