京大物理'10[2]

以下の(1)(2)  には適した式を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、  はすでに  で与えられたものと同じ式を表す。また、問1〜問3では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。

(1) 1(a)に示すように、xyz空間に電場が加えられている。この電場は、図1(b)に示すように、周期をTとして時間的に変化している。最初の半周期にはy軸の正の向きに大きさの電場が、次の半周期にはy軸の負の向きに大きさの電場が加えられる。加えられる電場は、空間的には一様である。質量がmで正の電荷qをもつ荷電粒子Pが、時刻tで原点()にある。この粒子Pは、y軸方向の電場によって加速度運動をするが、この運動のようすはで粒子Pに与える初速度によって異なる。重力の影響は無視できるとする。

(1a) において粒子Pは原点に静止しているものとする。のときには、粒子Py軸の正の向きに加速される。での粒子Pの速度のy成分と座標yはそれぞれ イ  ロ で表される。のときには、粒子Pは、での速度のy成分 イ と座標 ロ を初期値としてy軸の負の向きに加速される。のとき、粒子Pの速度のy成分を時刻tの関数として表すと ハ となる。そのときの粒子Pの座標yも時刻tの関数として表すことができる。それらの結果から、 ()での粒子Pの速度のy成分は0であるが、粒子Pは時間の経過とともに原点から離れていくことがわかる。

1 以上の結果をもとに、における粒子Pの速度のy成分を時刻tの関数としてグラフに示せ。グラフ中にはにおける速度のy成分の値を記入せよ。また、における粒子Pの座標yと時刻tとの関係を表す曲線の概要をグラフに示せ。ただし、グラフ中ににおける座標yの値を記入する必要はない。

(1b) において、粒子Pの速度のx成分z成分として、速度のy成分を適切な値にすれば、時間が経過しても粒子Pが原点から遠く離れていかないようにすることができる。そのとき、およびでの粒子Pの座標yがともにになり、またでの速度のy成分のときと同じ値である。この条件は、での粒子Pの速度のy成分 ニ の場合に満たされる。このとき、における粒子Pの速度のy成分は− ニ となる。
のときには、粒子Pでの速度と座標を初期値としてy軸の負の向きに加速される。のときの粒子Pの速度のy成分を時刻tの関数として表すと ホ となる。そのときの粒子Pの座標yも時刻tの関数として表すことができる。

2 以上の結果をもとに、における粒子Pの速度のy成分を時刻tの関数としてグラフに示せ。グラフ中にはにおける速度のy成分の値を記入せよ。また、における粒子Pの座標yと時刻tとの関係を表す曲線の概要をグラフに示せ。ただし、グラフ中ににおける座標yの値を記入する必要はない。

(2) 2(a)に示すように、xyz空間に電場または磁場が加えられる。これらの電場と磁場は、図2(b)に示すように、周期をTとして時間的に変化している。最初の半周期にはy軸の正の向きに大きさの電場のみが、次の半周期にはz軸の正の向きに磁束密度の大きさの磁場のみが加えられる。加えられる電場や磁場は、空間的には一様である。質量がmで正の電荷qをもつ粒子Pで原点()にある。
最初に、のときの粒子Pの運動が(1b)の場合と同じになるように、での粒子Pの速度のx成分z成分として、速度のy成分 ニ とする。
一方、のときには、磁場の影響を受けて大きさが ヘ のローレンツ力が粒子
Pに作用する。このため、粒子Pxy平面内で円運動を始める。この円運動の中心はx軸上にあり、そのx座標は ト で与えられる。このとき、円運動の半径は磁束密度の大きさに応じて変化するが、の間に粒子Pが運動する軌跡の長さは チ となり、磁束密度の大きさによらない。
いま、磁束密度の大きさ リ に選ぶと、粒子
Pは、の間にxy平面内で円軌道を半周した後、において再びのときと同じ速度のy成分 ニ と座標をもつようにすることができる。このとき、粒子Px座標は ヌ となる。それ以降の ()のときには、粒子Pは、y軸方向にはのときと同じ運動を行い、x軸方向には原点から離れていく。

3 以上の結果をもとに、における粒子Pxy平面内での運動の軌跡を描け。軌跡には、粒子Pの進む向きを示す矢印を付けよ。また、粒子Pにおけるy座標とにおけるx座標の値を記入せよ。

解答 電磁気の基本と、等加速度運動、円運動との融合問題です。以下の問1,問2では、速度のy成分だけでなくy座標についても計算式を求めた上でグラフを書いていますが、実戦的には、計算なしで感覚的にグラフを描きたいところです。
細かいことですが、問
2問題文中の「グラフ中ににおける座標yの値を記入する必要はない。」のは、問題文中でと指定されているので、の間違いではないかと思われます。
()が何をすれば良いのか、少々悩むかも知れません。円運動の半周の長さ()2通りに表されることを利用します。

(1)(1a)()において、 y軸正方向の電場電荷qをもつ粒子Pに、y軸正方向に大きさを及ぼします(電界を参照)。粒子P加速度aとして、運動方程式
 (よって、粒子Pの運動は等加速度運動)
等加速度運動の公式より、における粒子P速度y成分は、
......[]
において、速度y成分時刻tの関数として表すと、
 ・・・@
y座標を時刻tの関数として表すと、
 ・・・A

() Aより、における粒子のy座標は、
......[]

() においては、電場の向きが逆になり、加速度となるので、粒子P時刻tにおける速度y成分は、
......[] ・・・B
時刻tにおけるy座標は、


 ・・・C
これより、において、です。

1 における-t グラフは、を結ぶ線分です。における-t グラフは、を結ぶ線分です。以後、 ()における-tのグラフは、におけるグラフの繰り返しになります。
におけるy-t グラフは、を頂点とする下に凸な放物線、におけるy-t グラフは、を頂点とする上に凸な放物線です。以後、におけるy-t グラフは、におけるグラフを平行移動したグラフになります。における両グラフを図示すると、右図実線。
(1b)() における速度y成分をとして、時刻t ()におけるy座標は、

におけるy座標になるとして、
......[]
において、となるので、このとき、における粒子P速度y成分について、
より、におけるy座標も、問題文にあるように、
となります。

() における速度y成分は、加速度となるので、
......[]

2 における速度y成分がになると、における-t グラフは、問1-t グラフを軸負方向にだけ平行移動したグラフになります。また、
 ()

 ()
以後、 ()におけるy-t グラフは、におけるグラフの繰り返しになります。
における両グラフを図示すると、右図実線。

(2)() において粒子が受けるローレンツ力の大きさは、
......[]

() 粒子には中心方向のローレンツ力のみ働き、円の接線の方向にはが働かないので、粒子の運動は等速円運動です。円運動の半径rとして、粒子の運動方程式は、

円運動の中心のx座標rに等しく、 ......[]

() 一定の速さ時間運動するので、軌跡の長さは、
......[]

() 時間で粒子が半周するので()の結果はに等しく、
......[]

() 円軌道を半周してとなったときのx座標は、
......[]

3 なので、において、粒子は、原点から一旦y軸の負側に移動し、で反転して時刻に原点に戻り、においては、を中心とし半径の円周のの部分を半周し、時刻に到達します。以後、x軸方向に原点から離れて行きながら、y軸方向にはにおける運動を繰り返します。時刻におけるy座標です。軌跡は右図実線。


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