京大物理'10[1]

次の文を読んで、  に適した式を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、  はすでに  で与えられたものと同じ式を表す。また、問1,問2では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。

1に示すように、水平な床の上に質量Mの台車(全長)が置かれている。台車には中央部に支柱によって支持された水平な棒が取り付けられている。その水平な棒の中央から大きさが無視できる質量mの小球(質点)が、長さhのひもでつるされている。支柱と棒とひもの質量は無視できる。小球は最下点(ひもと水平面とのなす角が)で台車と滑らかに接する。台車と小球の間の摩擦は無視できる。以下では、小球は図1中のxy平面(鉛直平面)内で運動するものとする。台車は床と離れることなく、x方向に運動するものとする。台車には軽く薄い壁C (質量と厚さが無視できる)が取り付けられている。小球と壁Cのはね返り係数(反発係数)eとする。重力加速度の大きさをgとする。

(1) はじめに、台車を床に固定する。このときに図2に示すように、小球をひもが水平に張られる点Aまで持ち上げる。その後、静かに小球を離すと、小球はxy平面内を降下する。小球が最下点Bに到達する直前の小球の速さは ア であり、このときのひもの張力は イ である。小球が最下点Bに到達した瞬間にひもを切ると、小球は台車の上面を移動して壁Cに衝突してはね返り、台車の端Dに至る。なお、ひもを切るときには、小球は力積を受けないとする。最下点Bでひもを切った瞬間から小球が台車の端Dに到達するまでの時間は ウ である。

(2) つぎに、台車が床の上を摩擦なく移動できるようにする。このとき、はじめに台車を動かないように押さえて、図2に示すように、小球をひもが水平に張られる点Aまで持ち上げる。その後、静かに台車と小球を同時に離すと、台車と小球が運動する。小球が点Aから最下点Bに到達する直前の小球の速さは エ であり、このときのひもの張力は オ である。小球が最下点Bに到達した瞬間にひもを切ると、小球は台車の上面を移動して壁Cに衝突してはね返り、台車の端Dに至る。なお、ひもを切るときには、小球および台車は力積を受けないとする。小球は最下点Bから壁Cに到達するまでの間、台車に対して相対的な速さ カ で運動する。小球が最下点Bから壁Cに到達するまでの時間は キ である。また、小球が壁Cに衝突してはね返ってから台車の端Dに到達するまでの時間は ク である。したがって、最下点Bでひもを切った瞬間から小球が台車の端Dに到達するまでの時間は、台車を固定したときの時間 ウ  ケ 倍となる。

1 上記の(2)の状態(台車が床の上を摩擦なく移動できる状態)で、小球と台車をまとめて一つの系と呼ぶことにする。この系の重心(質量中心)は水平方向には動かない。この理由を50字以内で簡潔に説明せよ。

2 上記の(2)の状態(台車が床の上を摩擦なく移動できる状態)で、台車を動かないように押さえて小球をひもが水平に張られる点Aまで持ち上げ、台車と小球を同時に離した瞬間の台車の位置を基準点とすれば、小球が壁Cに衝突してはねかえって台車の端Dに至った瞬間に台車はどの位置にあるか。問1で述べたこと(系の重心が水平方向に動かないこと)を利用して、導出の過程も含めて解答せよ。なお、ひもの長さhは台車の全長の半分Lより短い()

解答 相対運動がテーマの問題です。()や問2で相対運動を意識して解答するようにしましょう。

(1)() 最下点Bに到達する直前の小球の速さとします。点Aにおいて小球は位置エネルギーをもち、最下点では運動エネルギーをもちます。点Aと最下点との力学的エネルギー保存より、

......[]
() ひもの張力Tとします。最下点Bにおいて小球に働く力は、鉛直上向きのTと鉛直下向きの重力です。最下点における運動方程式
 (不等速円運動を参照)
()の結果を代入し、
......[]
() ひもを切った瞬間から小球が壁Cに到達するまでの時間
Cに衝突した直後の小球の速さ (反発係数の式を参照)
小球が壁
Cから端Dに来るまでの時間
ひもを切った瞬間から端
Dに到達するまでの時間は、()の結果を用いて、
......[]

(2)() 小球が最下点に来たときの小球の速度,台車の速度とします。点Aにおいて小球は位置エネルギーをもちます。小球が最下点Bに来たとき、小球の運動エネルギーは,台車の運動エネルギーはです。小球が点Aにあるときと最下点Bに来たときとの力学的エネルギー保存より、
 ・・・@
小球が点Aにあるとき、小球も台車も運動量は0です。小球が点Bに来たとき、運動量の水平成分は、小球が,台車がです。水平方向の運動量保存より、

 ・・・A
@に代入して、

......[]
() 台車上の観測者から見れば、小球の運動は円運動です。Aより、台車上で見たときの小球の速度(相対速度を参照)
 ・・・B
これより、台車上で見た、最下点Bにおける小球の運動方程式は、
()の結果を用いて、
......[]
() BからCに至るまでの、小球の台車に対する相対的な速さは、Bと()の結果を用いて、
......[]
() 小球が最下点Bから壁Cに到達するまでの時間は、()の結果を用いて、
......[]
() 台車上で見た、壁Cと衝突した直後の小球の速さ,小球が壁Cから端Dに来るまでの時間は、
......[]
() ひもを切った瞬間から端Dに到達するまでの時間は、()()の結果より、
()()の結果より、
よって、()
......[]

1 棒が最初に位置する地点を座標0として、水平方向右向きに座標軸をとり、時刻tにおける小球、台車の棒の位置の座標xX,小球、台車の速度vVとします。
系の重心座標で与えられます。これを時刻tで微分すると、運動量保存より、最初に小球も台車も静止していたので、
よって、は一定で、重心は水平方向には動きません。
理由:水平方向に外力が働かず、系の運動量の水平成分が保存され、小球も台車も最初に静止していたから。
(46) ......[]

2 問1より、となるので、最初の小球と台車の位置,小球が端Dに至った瞬間における小球と台車の位置より、
最初の位置から右にの位置 ......[]


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