京都大学2009年物理入試問題

[1]
 次の文を読んで、  には適した式をそれぞれの解答欄に記入せよ。また、問1では指示にしたがって、解答を解答欄に記入せよ。

1のように、トラックが荷台に荷物を置いた状態で水平面の直線道路上を走る。その速さは図2に示すように、時刻0から時刻Tまで一定の割合で増加し、速さvに達する。荷物の大きさは縦、横、高さがそれぞれabhの直方体であり、その質量をmとし、重心位置は荷物の中心にあるものとする。また、トラックの荷台は常に路面と平行であり、荷台と荷物間の静止摩擦係数を,動摩擦係数をμとし、重力加速度の大きさはgとする。
速さ
vをある値に定め、加速を停止するまでの時間Tを変化させることによる荷台上の荷物の動きを考察しよう。このとき、走り始めから時刻Tまでの加速度の大きさは ア である。
まず、荷物が荷台をすべらないように走行するための条件を考える。時間
Tを長くとると荷物はすべらない。その間に荷物が荷台から受ける静止摩擦力は イ である。Tを短縮していくと荷物はすべり始める。荷物がすべらないためにはTはある値を越えていなければならない。その値をとしたとき ウ である。
次に、荷物は荷台をすべってもよいが荷台からはみ出さない条件、すなわち荷物が荷台上を動く距離が
Lを越えない条件を考える。荷物が荷台をすべっているとき、荷物の荷台に対する加速度は走行方向とは逆方向で、その大きさは エ となる。したがって、時刻Tに至るまでに荷物がすべる距離は オ となり、時刻Tでの荷物の荷台に対する相対速度の大きさは カ となる。時刻T以降で、荷物が荷台の上で停止するまでに動く距離は キ であり、結局 ク の条件が得られる。
次に荷物がすべらずに転倒する場合を考えよう。ここでは転倒の初期段階として荷物が回転を始める状況を考える。荷物が、
Pを通り紙面に垂直な軸を中心として回転を始めないためにはTはある値を越えていなければならない。その値をとしたとき、 ケ である。
荷物はすべるが回転を始めないための必要条件は、の表式により、 コ であることがわかる。

このトラックが図
3のように、半径Rの円周上を一定の速さVで走行している場合を考えよう。路面は内側に角度θで傾斜している。なお、Rに比べてトラックおよび荷物は十分小さいと仮定し、荷台面内での荷物の回転も起こらないものとする。
1 荷物がすべっていない状況を考える。このとき荷物と荷台との間に静止摩擦力が働かない状態での力の成分を図示し、そのときのトラックの速さ(とする)を求めよ。

トラックがこの円周上を速さで走行している場合を考える。その速さがある値を越えると荷物はすべり始める。そのときのトラックの速さは サ である。また、転倒の初期段階として荷物の回転を考えた場合、トラックの速さがある値を越えると、荷物はQを通り紙面に垂直な軸を中心として回転を始める。そのときのトラックの速さは シ である。したがって、荷物がすべり始めるときのトラックの速さと回転を始めるときのトラックの速さが一致する条件(荷物が回転を始めないためのがとり得る限界値) ス となる。
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[2] 次の文を読んで、  には適した式を、{  }からは適切なものを選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。また、問1〜問3では指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。

荷電粒子にエネルギーを与え加速する装置を加速器と呼ぶ。ある種の加速器では、運動する荷電粒子が磁場中を通るとローレンツ力を受けて曲げられることを利用し、磁場を用いて荷電粒子に円形軌道を描かせながら加速する。このような加速器の原理に関して、以下の問に答えよ。

(1) 1に示すものは、その一つでサイクロトロンと呼ばれる装置の概略図(a)と原理図(b)である。以下、原理図(b)にもとづき考察する。真空中に、半径の半円形で薄い中空の2つの加速電極を、直線部で距離だけ離して対向させて置く。ただし、dに比べて十分小さいとする。この両電極間のすき間をギャップと呼ぶことにする。この電極面に垂直に紙面奥から手前に磁束密度の一様磁場を与える。簡単のために、重力は無視でき、ギャップ部の磁場はないと仮定する。
左側半円電極()が正極、右側半円電極()が負極となるよう直流電圧がかけられているとき、の半円の中心部に置いたイオン源Sから電荷(),質量の荷電粒子が初速ゼロで供給された。直流電圧Vによる電極間の電場は一様かつ均一であると仮定する。荷電粒子は電極に向かって距離dにわたって加速され、速さ イ の空洞内に入り、磁場によってローレンツ力を受ける。これと遠心力がつりあって、荷電粒子は等速で半径 ロ の円軌道を半周描いた後、電極の直線部に到達しを出る。荷電粒子が電極空洞内にいる時間は、 ハ である。
この間に電極間電圧を反転させ、が負極、が正極となるように直流電圧
Vをかけると、再び荷電粒子はギャップを通過するときに加速され、の空洞内に入り等速円運動を始める。円運動の周期は、荷電粒子と一様印加磁場が決まれば変化しないので、継続して荷電粒子を加速するためには電極間の直流電圧の向きを変える時間間隔は一定でよい。ただし、両電極間を通過する時間は ハ に比べて十分短いとする。
これを繰り返すことによって荷電粒子は加速され、描く円運動の半径はしだいに大きくなる。以下では、この円軌道が半円電極内にある場合を考える。描く軌道半径が
()になったとき、荷電粒子の速さは ニ となり、このとき荷電粒子が持つエネルギーは、 ホ である。また、これまでに電極間で加速された回数n ヘ である。
1 この後、回目()の加速後の軌道半径をRに維持するためには、一様磁場の磁束密度と電極間の直流電圧の向きを変える時間間隔をそれぞれどのような値にすればよいか。n回目までの磁束密度と時間間隔を用いて求めよ。ただし、直流電圧の大きさVは一定とする。

(2) 円運動する荷電粒子を、軌道半径を変えないで加速する方法として、与える磁場の変化による誘導電場を用いるベータトロンと呼ばれる装置がある。この原理について考えてみよう。
まず図2のように、真空中において、半径の円柱形の鉄心を持つ電磁石の磁極のすき間に一様磁場を上向きに与えた場合を考える。重力の影響は無視できるとする。初期の磁場の磁束密度はで、その中を図2のように(1)と同じ荷電粒子が半径で等速円運動しているとき、荷電粒子の軌道断面を単位時間当たりに通過する電荷量、すなわち電流は、 ト と書ける。
この荷電粒子を加速するために磁場を変化させたとき、荷電粒子に働く力を次のように考えてみよう。磁場変化によって軌道半径が変わらないと仮定すると、この荷電粒子の運動は、その軌道上に置いた半径
rで変形しない抵抗のない円環に流れる電流と見なせる。この電流の大きさは ト である。このように仮定した円環に磁場変化を与えた。磁極間の磁束密度を一様に保ちながら、時間の間にだけ均一に増加させると、円環に誘起される起電力は円環を貫く磁束の単位時間当たりの変化で与えられ、その大きさは チ である。そのとき、円環上の電場の大きさは リ となり、これによって円環には電流が誘導される。
円環に電流が誘導されるということは、荷電粒子が誘導電場 リ による力を受けて加速されることと等価である。このとき、荷電粒子が受けた力積は荷電粒子の運動量の変化に等しいので、初期の磁束密度での速さを考慮すると後の速さは、 ヌ となる。荷電粒子に働く中心方向の合力は ル となり、このように磁極間に一様で、均一な磁場変化を与えて荷電粒子を加速した場合には、軌道半径が
{ヲ:@ 大きくなる A 変わらない B 小さくなる}ことがわかる。
実際のベータトロンでは、荷電粒子の軌道半径を変えないで加速するために、磁極間の磁場分布は一様ではなく、与える磁場変化も均一にならない工夫をしている。これについて考えてみよう。
2 前述と同じ初期の状態から時間の間に、軌道上の磁束密度を,軌道で囲まれる面を貫く全磁束をだけそれぞれ増加させたところ、軌道半径は変わらずに荷電粒子の速さの変化がとなった。このとき、 ル を導いた場合と同様に、軌道上の荷電粒子の運動量の変化と中心方向の力のつりあいを考えての関係式を求めよ。
3 上の問2の結果をもとに、実際のベータトロンの磁極の断面形状として図3(a)(b)のどちらが適当であるか選べ。図中の磁極間の矢印は磁力線の概略である。磁力線の密度は磁束密度の大きさに対応している。
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[3] 次の文を読んで、  には適した式を、{  }からは適切なものを選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。また、問1〜問3では指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。

(1) ホイヘンスの原理を用いると波の多くの現象が理解できる。図1に示すように、媒質T ()を速さで進んだ波は、媒質2 ()を速さで進み屈折を起こす。角度で入射した線分ABを含む波面上の点Aは時刻に境界に到達した。その後時刻に、点Bは境界上の点Sに達し、点Aは点Cに到達する。この間()の時刻t に境界に達する点Pと点Sの間の距離は、時刻t を用いると あ である。また時刻t に境界上の点Pから放射され、時刻に点Qで波面CSに接する素元波の半径は、時刻t を用いると い である。以上から、媒質2の屈折角は、を用いると う となる。
(2) 浅い海の上を進む船は、くさび型の波面を伴う場合がある。(1)の結果を利用して、このくさび型の波面ができる条件を考えよう。船は大きさを持たず、図2に示すように、静止した水の上を一定の速さVX軸上を進んで波を発生させたとする。時刻t での船の位置を点Pとする。また、波の速さはcとする。船は、各時刻に変位が同じ(位相が同じ)である波長λの素元波を放射しながら進むとする。すなわち、図2の点Pから放射される素元波を、図1の点Pから放射される素元波と同様に扱うこととする。時刻に船が原点Sに到達した。このとき、図2のように、船は後方に原点を通るくさび型の波面を伴っていた。
1 波面とX軸がなす角度θ に対してを求めよ。くさび型の波面ができるときに、船の速さVと波の速さcが満たす条件式を導け。

深い海の上を進む船の後ろにできる美しい波模様は、参考図のようにくさび型領域に限られる。このくさび型の領域は、問1の結果とは違って、船の速さによらない一定の角度を持つ。この違いは、波長より水深が深い場合には波長が短いほど水の波の速さが遅いという性質があることと、船が作る波は波長が異なる多くの波が重ね合わさっていることが原因である。この違いについて考えよう。
(3) はじめに、平面波の性質を調べよう。x軸の正の方向に進む平面波の波長をλ,振動数をf とする。このとき、時刻t,位置xでの波の変位hは、三角関数を使ってと書ける。ここで、aは平面波の振幅である。ただし、時刻,位置での波の変位を0とおいた。この式に現れるは「波数」と呼ばれており、これをkとおく。また、角振動数を用いると、次のように表現が簡単になる。
   (i)
座標xと時刻t を固定したときのの値をその位置xと時刻t での波の位相と呼ぶ。位相が一定の値()である位置xは、の関係を満たしながら、x軸の正の方向に一定の速度cで進む。この速度は平面波の「位相速度」と呼ばれている。波数kと角振動数ωを用いて表すと え となる。
2 図3には、式(i)で表される波の時刻での変位hが描かれている。図3を参考にして、時刻におけるこの波の変位hの概略図を、の範囲で解答用紙の所定欄に書き入れよ。ただし、縦軸と横軸の数値と記号は図3と同じように記入せよ。

(4) 次に、波数kと角振動数ωがわずかに異なる2つの平面波、波1と波2の重ね合わせを考えよう。波1と波2の波数を,角振動数をとする。また、波1と波2の振幅は等しく、aとする。ただし、は、それぞれ波数k,角振動数ωに比べその大きさが十分小さい定数であり、とする。このとき、波1の変位を,波の変位をと表すと、重ね合わせた波の変位は、公式を用いて、以下のように書ける。
 お 
重ね合わせた波の変位hは、平面波の部分と、その振幅の変動を表す部分 お )の積になっている。この振幅の変動に着目して式(i)と比べると、この振幅の変動が速度で伝わることがわかる。この振幅の変動が伝わる速度を「群速度」と呼びとおく。
4には、重ね合わせた波の変位の時間変化の一例を描いた。ここで、振幅の変動を破線で表し、その腹と節の伝搬を矢印で、またにおける平面波の部分の位相と同じ位相を持つ点の位置を黒丸で、それぞれ示した。図4は、平面波の部分は位相速度cで伝わり、その振幅の規則的な強弱は群速度で伝わることを表している。
群速度は波の形やその発展を決めるために重要であるとともに、波のかたまりや波のエネルギーの伝搬を理解する上でも重要な物理量である。
1と波2の位相速度が等しい場合、位相速度cと群速度の関係は{か:@  A  B }である。このとき、の点で観測される波の変位hの時間変化を、図5に示す。音のうなりと同じように変位hの振動の強弱が規則的に観測される。単位時間当たりのうなりの数は角振動数を用いると き である。
3 船の作る波の波長に比べ水深が十分深い場合、角振動数ωと波数kの間には、の関係が成り立つ。ここで、gは重力加速度の大きさである。このとき、群速度と位相速度cをそれぞれ計算し、比を求めよ。
必要ならば、に対する次の近似式を用いよ。

深い海の上を進む船は多くの波長の波を作るので、重ね合わせの結果、振幅の大きな変動は群速度で伝わる。問3で求めた群速度と位相速度の関係から、波の伝わる範囲が狭まることが予想できる。さらに波長の異なる多数の波の効果を考慮すると参考図のような波の模様が作られることを示すことができる。この船の作る波は、ケルビン波と呼ばれる。
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各問検討

[1](解答はこちら) 2009年度の京大物理の力学は、例年と比較して易しめです。[2]が重たい問題なので配慮したのでしょう。ですが、ボリュームはたっぷりあるので、本問で時間を使いすぎると、[2]をじっくり解いている余裕がなくなります。従って、かなり急いで解き進む必要があります。
本問では、「加速度」と「加速度の大きさ」、力の向き
(特に摩擦力の向き)などに充分注意をしましょう。京大の物理の問題で感じるのですが、「速度」と「速さ」がごちゃ混ぜになっていて、符号をどうして良いのか悩む空所があります。論述問題であれば、採点者が答案の前後を見て判断できると思いますが、空所補充形式の京大物理では困ったことになります。本問では、わざと混ぜて受験生が符号を意識しているかを確かめようという意図があるのかも知れません。
本問では、剛体の転倒を扱っています。クレーンが転倒して被害が出るような事故も起きるので、教科書での扱いは小さいですが、「転倒」は入試では重要なテーマです。本問では、重力・慣性力の合力の作用線が斜面と接している物体の面の端のどちら側を通るか、というところに着目します。重力・慣性力の合力の作用線が斜面と接している部分を通過すれば、その交点に抗力
(垂直抗力と摩擦力の合力)が、重力・慣性力の合力と等大逆向きに働き、両者はつり合うので、物体は元々静止していれば静止の状態を続けます。重力・慣性力の合力の作用線が、物体と斜面が接している部分を通過しない場合には、抗力は物体の端点に働くので、物体に偶力が働くようになり、物体は回転を始めます。重力やクーロン力などを除いて、力は物体同士が接触している部分に働き、抗力が働く点は物体と斜面が接触している部分にしか働かず、従って、重力・慣性力の合力の作用線が接触している部分から飛び出してしまうと、物体は転倒してしまうのです。
「転倒」を除くと、本問では教科書レベルの基礎事項の理解が問われているだけです。摩擦力、慣性力、エネルギー、円運動の遠心力、と、力学全般に渡って出題されているので、しっかり勉強してきた受験生でないと完答は難しいですが、考え込むような部分はありません。基礎ができていれば、慎重かつ迅速に、要領よく処理を進めていけばよいのです。




[2](解答はこちら) サイクロトロン、ベータトロンを扱う問題は、京大でも過去に出題されていますが、それぞれ単独で出題されてきました。2009年度の問題は、過去に出題された内容をブラッシュ・アップし過去の不足分を補う内容になっている上に、サイクロトロンとベータトロンの両者を扱う、という欲張った問題になっていて、受験生は時間不足に苦しんだだろうと思います。両者に関する設問の最後の問1,問2,問3はいずれも、物理的にじっくり考え込む必要があるので、問題としては良問ですが、受験生にはいささか酷な気がします。本問を演習問題として試してみようという方は、それぞれが大問1題のつもりで時間をかけて取り組んでください。
サイクロトロンでは解答にも書きましたが、円運動する際の周期が半径や速さに依らず
(磁場によって定まる)に一定になります。このことから、荷電粒子を投入してから出てくるまでの時間を予測させたり印加電圧の周期を考えさせる難問が過去に出題されています。今回は、それを踏まえた上で、最終段階で荷電粒子の回転半径を一定にするための、磁束密度の変化、印加電圧の周期の変化の設定条件を問う内容になっています。荷電粒子のエネルギーに関する物理的状況がしっかり捉えられていないと解答できません。サイクロトロンに関して、動作原理に軽く触れるだけの教科書の記述を遙かに超える深い理解も要求されています。
ベータトロンは本問の問題文の記述にあるように、装置内で一様な磁場を一様に強くすると、加速された荷電粒子に中心方向に力が働いてしまい、荷電粒子を一定半径で加速することができません。京大に限らず、ベータトロンもいろいろな大学の入試問題に登場してきましたが、高校数学の範囲を超えてしまうような数式処理が必要となってしまうので、正確な扱いをする入試問題は難しいのではないか、と、思っていました。京大では、過去に磁束の変化が磁束密度の変化と円の面積の積の
2倍になる()ことを求めさせる問題までは出題されていましたが、この問題では、定性的であっても荷電粒子を一定半径で加速するための磁場の条件まで考えさせていて、ベータトロンの入試問題の決定版と言える内容になっています。
サイクロトロン、ベータトロンの問題として、それぞれが物理的な熟考を必要とする良問であるだけに、複数年に分けて
1題ずつ出題し、受験生にじっくりと考えさせる余裕を考慮して欲しかった、と、私は思います。京大には、何人ものノーベル物理学賞受賞者を輩出してきた、という自負があるのだろうと思います。京大物理をこなすためには、素粒子の実験を行うための加速器やカミオカンデのような最先端の科学技術について、定性的な概念を知っている、というだけではなく、数式を使った定量的な計算にまで踏み込んでトライしてみよう、という高度な学習意欲が求められています。



[3](解答はこちら) 位相速度と群速度の違いをテーマとする問題で、問題文の内容は高校物理から逸脱していますが、問題そのものは、屈折の法則や船首波、干渉に関する、むしろ標準的で取り組みやすい問題です。問題文では、「位相速度」と「群速度」の違いが実に分かりやすく説明されていて、京大受験生のみならず、量子力学を学ぶ全大学生に考えてもらいたい教育的配慮を感じます。出題者が物理の講義中に、学生に位相速度と群速度の違いを聞いたときにうまく説明できないので、何だ、キミはこんなこともわかっていないのか、と、ため息をついて問題文を作ったのではないか、と、勝手な想像をしてしまいます。
本問に出てくる「位相速度」は高校物理で学ぶ「波の伝わる速さ」のことで、振動数×波長、に一致します。「群速度」は波を固まりとして見たときの固まりの速さのことですが、問題文では図を用いてわかりやすく説明しています。
ところで、培風館の物理学辞典で「船の波」で引くと、水面を通過する際に物体の後ろにできる定常波群を「ケルビン波」と言う、と書かれているので、問題文の「ケルビン波」はくさび型領域にできる曲線
(船が作る波が干渉してできる山や谷)として出現する波のことを指していると思われます。
水面に生じる波には大きく分けて
3種類あり、波長が水深に対して小さいときにできるのが、水面で表面張力を復元力として生じる「表面張力波」(俗に言うさざ波)、重力を復元力として生じる「重力波」(アインシュタインの重力場の方程式から出てくる重力波とは別ものです)、波長が水深に対して大きくなるときにできる「長波」です。
表面張力波では、群速度は位相速度の培で、波長が小さくなるほど伝播速度が大きくなり、重力波では、群速度は本問にあるように位相速度の培で、波長が大きくなるほど伝播速度が大きくなり、両者の影響を合わせると、ほぼ波長のときに水面波の伝わる速さが極小値をもつことが知られています
(つまり、波長がより短くなると表面張力波が支配的になり、波長がよりも長くなると重力波が支配的になる)。また、重力波が伝わる速さは、本問問3で求めた,表面張力波が伝わる速さは (Tは表面張力、ρは密度),長波の伝わる速さは (hは水深)になることが知られています。これらの導出は、流体力学の知識を必要とし高校物理の範囲を遙かに超えます(大学入試に出るとすれば、次元解析の問題として出題されます)。表面張力波と重力波は、波の伝わる速さが波長に依存するので、「分散性の波」(光と同様に分散という現象を起こす)と言われていて、位相速度と群速度が異なりますが、長波は、速さが波長に依存しないので分散性ではありません。
水深の大きな海で波長の重力波の速さはより
津波のように波長が長く海底にまで振動が伝わるような波では長波となり、水深として、速さは
(時速360km)
津波の伝わる速さは、海面を伝わる波に比べて非常に速い、ということがわかります。



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