京都大学2008年前期物理入試問題
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[1] 次の文を読んで、 には適した式または数値を、{ }からは適切なものを選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、 はすでに または{ }で与えられたものと同じものを表す。また、問1，問2では指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。
以下の設問では、向心力を受けて円運動する物体について摩擦力による速さの変化を考える。その際、さまざまな物理量の微小な変化を調べる。
(1) 図1のように、なめらかな台の上に置かれた質量mの物体が、ひもにつながれている。ひもは台の中心Oに開けられたなめらかな小さな穴を貫通し、ばねにつながれている。さらにばねの下端は下側の台に固定されている。この物体は半径r，速さvの等速円運動をしている。ばね定数はbであり、ばねとひもの質量は無視してよいものとする。また、物体が点Oにあるとき、ばねの長さが自然の長さであるようになっている。
この等速円運動に対する運動方程式は
ア となる。物体の運動エネルギーは
，ばねの弾性力の位置エネルギーは
で与えられる。このとき運動方程式から運動エネルギーKと位置エネルギーVの間に
という関係が成り立つことが分かる。
(2) 次に、この物体に速度と逆方向に摩擦力が作用した場合を考える。摩擦力の大きさDは一定とする。ばねの力に比べて非常に小さい摩擦力が作用したため、図2のように軌道がわずかに円運動から変化したとしよう。そのため、物体の速度は(1)で考えた速度と厳密には異なっている。ただし、摩擦力が非常に小さい場合には、速度の差はわずかであるので無視してよいものとする。物体の速さをvとすると、図2のように微小な時間
の間の移動距離は
で与えられる。この移動の結果、物体と点Oとの距離はrから
に変化する。実際にはrに比べてその変化
は非常に小さいが、この図では微小な変化
を強調している。また、物体の運動方向とばねによる向心力の間の角度αは
よりわずかに小さい。 この微小な時間
の間に生じる運動エネルギーの微小な変化
は、ばねの力による仕事と摩擦力による仕事で決まるので、
( ウ )×
と与えられる。
と
が微小であることより、
が成り立つとする。運動エネルギーの微小な変化
のうち、ばねによる仕事は、半径の微小な変化
に比例する形で エ と表される。このばねによる仕事と位置エネルギーの微小な変化の関係を調べよう。軌道の半径がrから
に微小に変化する間に、位置エネルギーは だけ微小に変化する。上式の最後の行では、微小な変化
の2次の項
を無視している。このように、本問題では微小な変化の2次の項は無視してよい。したがって運動エネルギーの微小な変化のうち、ばねによる仕事の部分は{オ：① ＋1， ② －1， ③ ＋
， ④ －
}
となる。また摩擦力による仕事は、微小な時間
に比例する形で カ と表すことができる。したがって、
の間に生じる力学的エネルギー
の微小な変化
は 
カ (i)と与えられる。
摩擦力が非常に小さいので、物体は近似的に円運動を保ちながら、少しずつ速さと半径が変化していくとする。このとき関係式 イ は成り立っていると考えてよい。したがって、微小な変化
，
についても、同じ関係を保ちながら、力学的エネルギーが
カ と微小に変化していくので、運動エネルギーの微小な変化は 
キ ×
( カ ) (ii)となる。(注： キ には適切な数値を入れなさい。)
(3) 上の(2)では微小な時間
の間の運動エネルギーの微小な変化を求めた。この間に、物体の速さはvから
に変化するので、運動エネルギーの微小な変化は
とも表せる。この式と式(ii)より、物体の速さvの変化率は 
ク (iii)
(4) これまでは、物体がばねの力と小さい摩擦力を受けて近似的に円運動する場合を考えてきた。今度は、図3のように、質量Mの地球の周りを運動する質量mの人工衛星について、これまでと同じような計算を行う。地球の中心から人工衛星までの距離をrとする。人工衛星には地球からの万有引力と、大気から受ける小さい空気抵抗力が作用している。ただし、人工衛星の質量mは地球の質量Mに比べて非常に小さいため地球は動かないとしてよい。さらに、地球と人工衛星の大きさは無視してよいものとする。
まず、空気の抵抗力がはたらいていないとする。人工衛星は速さv，半径rの等速円運動をしている。万有引力定数をGとすると運動方程式は
となる。また、万有引力による位置エネルギーは
であることが知られている。このとき運動方程式から、運動エネルギーKと位置エネルギーVの間の関係式
が得られる。
次に、(2)，(3)における摩擦力と同様に人工衛星に空気の抵抗力が作用した場合を考える。ここで空気の抵抗力は、速度と逆方向にはたらく、大きさDの一定の力として取り扱う。ただし、空気の抵抗力は非常に小さく、人工衛星は近似的に円運動しているとみなしてよいものとする。
問1 人工衛星の場合にも、(2)と同様に、運動エネルギーの微小な変化
は万有引力と空気の抵抗力による仕事で与えられる。このことから、人工衛星の力学的エネルギーの微小な変化
に対して式(i)が成り立つことを、計算過程も含めて示しなさい。ただし、半径がrから
に変化するとき、位置エネルギー
の微小な変化は という近似式で与えられる。
問2 上の問1の結果と、微小な変化
，
に対しても関係式 コ と同じ関係が成り立つことを用いて、式(iii)に対応する人工衛星の速さvの変化率を表す方程式を計算過程も含めて導きなさい。また抵抗力により、人工衛星が加速されるか、減速されるか、変化しないか、いずれであるかを、その理由とともに答えなさい。 [解答へ]
[2] 次の文を読んで、 には適した式または数値を、 には適切なグラフを、{ }からは適切なものを選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、 はすでに で与えられたものと同じ式を表す。また、問1，問2では指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。
図2のように、幅w，長さ
の長方形の2枚の極板A，Bが間隔dで向かい合わせに配置された平行板コンデンサーを考える。不導体(絶縁体)で作られた水平でなめらかな台の上に極板A，Bは固定されており、その間にあらかじめ帯電していない幅wの直方体の金属板が極板A，Bと接触しないように挿入されている。これらはすべて不導体の気体中にあり、その気体の誘電率をεとする。極板は図1のように起電力Vの電池と接続されている。
図2は図1を台の上方から見たものである。金属板は厚さc，長さLであり、極板に平行に極板Aから距離b離れ、コンデンサーの左端から長さXだけ挿入されている。ここで図2の右側に示すようにx軸，y軸を定義し、図2の右向きをxの正方向、上向きをyの正方向とする。以下では、極板と金属板の端における電場(電界)の乱れは無視でき、電場は全てyの正方向のみを向いているとする。
このコンデンサーは、図2に「部分Ⅰ」として極板間に金属板が存在しない部分と、「部分Ⅱ」として示した極板間に金属板が存在する部分の2つの並列コンデンサーとみなすことができる。このコンデンサーに蓄えられたエネルギーは イ である。
このコンデンサーの部分Ⅰについてyの正方向の電位の変化をグラフに表すと、図3のようになる。図3では、極板Aからの距離を横軸yにとり、極板Bの電位を0とした。この図を参考に、部分Ⅱについてyの正方向の電位の変化をグラフに表すと ロ のようになる。(グラフには
での電位を式で記入せよ。)
このコンデンサーの部分Ⅰに蓄えられたエネルギーを部分Ⅰの極板間の電場の強さEを用いて表すと、 ハ ×
となる。
は部分Ⅰの極板間の空間の体積であるから、その空間には単位体積あたり ハ のエネルギーが蓄えられていると考えることができる。このように考えた場合、部分Ⅱの極板間の金属板内に蓄られる単位体積あたりのエネルギーは ニ となる。
ところで、図2の金属板には静電気力がはたらくことがわかっている。このことをつぎのように調べてみよう。ここで、電池の内部抵抗、電池とコンデンサーの間の配線の電気抵抗、金属板内部の電気抵抗、金属板と台の間の摩擦はいずれも無視できるものとする。
まず、金属板にはたらく静電気力のx軸に平行な成分について考えよう。静電気力のx軸に平行な成分につりあう外力を金属板に加え、極板Aからの距離bを保ったまま、極板間に存在する金属板の長さをXから
まで微小変化させたとしよう。このときのコンデンサーに蓄えられたエネルギーの変化量は ホ である。また、この間に電池がした仕事は ホ × ヘ である。コンデンサーに蓄えられたエネルギーの変化量から電池のした仕事を引いたものが、外力が金属板にした仕事に等しい。このことから、金属板にはたらく静電気力のx軸に平行な成分の大きさを求めると ホ ÷ ト となる。また、その方向は{ チ：① xの正方向 ② xの負方向 }である。
問1 金属板にはたらく静電気力のy軸に平行な成分の大きさはいくらか。その理由とともに記述せよ。
，
，
，
，
のとき、
，
の金属板を
として極板間に
挿入した。このときに金属板にはたらく静電気力のx軸に平行な成分の大きさを有効数字2けたで求めると、 リ Nとなる。
問2 図2の金属板の代わりに、外形はまったく同じでその内部が空洞になっている金属箱を極板間に挿入することにする。また、その空洞内には誘電率εの不導体の気体が入っているとする。この金属箱にはたらく静電気力のx軸およびy軸に平行な成分は、図2の金属板を用いたときに比べ、それぞれどう変化するか。その理由とともに記述せよ。 [解答へ]
[3] 次の文を読んで、 には適した式または数値を、{ }には図3から適切なものを選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。また、問1，問2では指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。
電磁波の一種であるγ線の放射と測定について考察しよう。物質を構成する原子は電子と原子核からなり、原子核の内部のエネルギーが高い状態から低い状態に移るときに、原子核からγ線が放射される。以下では、電子の質量は原子核の質量と比較して非常に小さいため、無視できるものとする。
振動数fの電磁波は、ある一定のエネルギーをもった粒子の集まりと考えることができ、その粒子を光子という。光子1個のエネルギーは
，運動量は電磁波の進む向きに
の大きさであることがわかっている。ここで、hはプランク定数とよばれる定数であり、cは光速である。
以下において、原子核の内部のエネルギー状態には、励起状態とよばれるエネルギーの高い状態と基底状態とよばれるエネルギーの最も低い状態の2つがあるものとする。励起状態のエネルギーを
，基底状態のエネルギーを
とし、そのエネルギー差を
とする。
まず、質量Mの原子核1個によるγ線放射を考える。原子核が励起状態から基底状態に移るときに、γ線の光子が1個放射される。静止していた原子核は、図1のようにγ線放射の反作用により速さvで動き出す。速さvの原子核の運動エネルギーと運動量の大きさは、原子核が基底状態にあるか励起状態にあるかに関わりなく、それぞれ
，
としてよい。また、原子核の全エネルギーは内部のエネルギー(
または
)と原子核の運動エネルギーの和で与えられる。よって原子核から振動数
のγ線が放射される場合、エネルギー保存則は
を用いて あ ，運動量保存則は い と書くことができる。ここで、
は
に比べ充分に小さいことがわかっている。絶対値が1より充分に小さい数δ に対して成り立つ近似式
を用いると、
は
，M，c，hを用いて う となる。
次に、この原子核をもつ原子N個で構成されている静止した結晶からのγ線光子1個の放射を考える。この結晶の質量は
で与えられる。以下では、結晶は充分低温であるものとし、原子核が結晶中に固定され、γ線を放射する原子核はその反作用を受けても結晶中に固定されたままであるとする。この場合、γ線放射の反作用は結晶全体で受け止められ、結晶が速さ
で動き出すものとする。このときの放射γ線の振動数
は
，M，N，c，hを用いて え となる。また、構成する原子数が無限大とみなせる大きい結晶の場合、放射されるγ線の振動数は
となる。
問1 原子N個で構成されている静止した結晶からのγ線光子1個の放射について、エネルギー保存則と運動量保存則を記述せよ。さらにNが無限大とみなせるとき、エネルギー保存則において結晶の運動エネルギーの項がその他の項に比べて無視でき、その結果、放射γ線の振動数が
となることを説明せよ。
同様の考察により、同じ種類の原子で構成されている静止した大きい結晶にγ線を当てると、この結晶は振動数
のγ線のみをよく吸収することがわかっている。このような結晶をここでは吸収体とよぶ。
次に、図2のような実験装置を用いたγ線の測定を考えよう。
γ線源は同じ種類のN個の原子で構成された結晶多数からなり、振動数
のγ線を一定の強度(単位時間当たりに放射されるγ線の光子数)で放射するものとする。吸収体を乗せた台車を水平な床の上におき、図2のように左端を床に固定したばねにつなぐ。γ線源は台車から充分に遠方に置かれ、γ線は吸収体付近で図2のx軸に平行に進むものとする。吸収体の表面はx軸に垂直である。吸収体は、振動数
以外の振動数のγ線を通過させるが、振動数
のγ線を完全に吸収するものとする。吸収体の後方の床上にγ線強度測定器を設置する。吸収体からのγ線放射は無視できるものとする。
ばねを自然の長さのときの位置OからAだけ伸ばして、時刻
に静かに放すと、台車はx軸に平行に角振動数ωで単振動する。以下では、吸収体の運動により、吸収体中で観測されるγ線の振動数
は音波のドップラー効果と同じ変化をするものとする。なお、吸収体の屈折率によるγ線の速度の変化は無視できるものとする。この場合、γ線の波長をλとすると、吸収体が速さVで運動しているときは、静止しているときに比べ、単位時間当たりに吸収体に到達する波の数が
だけ変化する。よって、時刻tにおいて
の関係がある。(おはλ，Vを用いずに表せ。)
台車が動き始めてから時刻
で突然、測定器で測定されるγ線強度が変化した。
が
に一致したからである。絶対値が1より充分小さい数δ に対して成り立つ近似式
を用いると、
の満たす条件は
か である。(かは
，
，
を用いずに表せ。)
ここで、
，
の原子核のγ線放射において、
，
のときに
で測定されるγ線強度が変化したとする。なお、
とする。このときのωを有効数字1けたで求めると き rad/sである。また、台車が一周期単振動するとき、想定されるγ線強度と
の関係は図3の{ く }のように予想される。
[解答へ]
各問検討
[1](解答はこちら) 言われたとおりに解答してゆけば難しくはないのですが、最終結論が人間の常識的な感覚と異なるので、勘違いしたり、試験場で悩み込んでしまいがちな問題です。
出題者の意図は、ばねの弾性力の場合と万有引力の場合とで、各エネルギーの関係を比較させたいのだろうと思います。
(1)(2)(3)では、等速円運動の運動方程式から、運動エネルギーとばねの弾性エネルギーが等しくなることに気づかせようとします。ばねの弾性エネルギーが減少すると等量の運動エネルギーが減少し、結局、摩擦力が仕事をすると、速さは減少します。
それに対し(4)では、運動方程式から、万有引力の位置エネルギーが運動エネルギーの2倍を負にしたものだ、と、わかるのですが、このときには、抵抗力のした仕事分だけ、運動エネルギーが増大して、物体が摩擦力によって加速される、という、常識、先入観に反するような結果が出てきます。
ピサの斜塔から、質量の異なる2物体を落下させて、物体の落下加速度は質量に無関係という、当時の一般常識に反することを示そうとしたガリレオの逸話のようなことになる問題なので、ここで、まごつかないようにしなければいけません。
質量からエネルギーを取り出せるはずがない、と、人間がいくら強弁しても、物理学は、原子力発電所で電力が得られることを実践して見せているのです。人間は不完全な存在です。神が創造した物理学は人間の感覚を上回るのです。試験会場でも、出てきた結果を冷徹に受け入れなければいけません。
この問題で少々困るのは、どう答えるのかがよくわからない解答欄があることです。(キ)については、数値で答えよ、という指定がついていますが、(エ)の「
に比例する形で」というのも戸惑うし、(ク)もどう答えればよいのかわかりません。
とか、
という解答が出てきたらどう採点したのでしょうか？ご覧の皆さんは、「式(iii)は直線上の等加速度運動と同じ形をしている」という問題文の表現が何を言いたいのか、題意の把握に努めてください。
私は、こうした空所補充型の試験は不適切だと思います。京大も、東大、東工大のように、完全記述式にすべきではないか、と思います。
[2](解答はこちら) エネルギー密度を聞いている点と問2を除けば、コンデンサーの頻出問題です。京大受験生であれば、解法でまごつくことはないはずです。計算がやや面倒なので計算ミスに注意すべき問題でしょう。
コンデンサーに誘電体や導体を挿入する問題では、コンデンサーを誘電体や導体が挿入されている部分と、挿入されていない部分とに分けて、直列・並列の合成容量の公式を用います。
また、極板間の電界は、平行板コンデンサーでは一様なので、極板間電圧V，極板間の電界E，極板間距離dに関する公式：
を用いることができます。
静電エネルギーUは、
です。これらの基本公式を使いこなせるように、よく練習を積んでおいてください。
起電力Vの電池が静電容量Cのコンデンサーに電荷
を送り込むときにする仕事Wは、
です。コンデンサーが貯め込むエネルギーは
なので、残りの
は何らかの別の仕事に使われます。この問題では、導体を引き込む仕事に使われます。
問2が何か裏のある問題なのか、と、思わせますが、裏の裏をかく問題なのでしょう。
[3](解答はこちら) この問題は原子分野の問題のように見えますが、問題文中で光子について説明されているし、光子のエネルギー
も、光子の運動量
も与えられているので、原子分野を履修していなくても解答できます。試験場で早合点しないように注意してください。前半は2次方程式を解いて近似するだけなので、難しくはありません。
後半は、ドップラー効果に近似が混じるので、(か)などかなり苦労するかも知れません。近似の仕方も指定されているので、何とかして、微小量
の形をひねり出さなくてはなりません。(か)が切り抜けられたとして、(く)のグラフ選択は、吸収体がγ線を吸収してしまうとγ線強度測定器にγ線が届かなくなることに注意してください。受験生が理解してグラフを選択しているのか確認するために、問2でグラフ選択の理由を聞く、という念の入れようです。
[3]だけでなく、[1]も[2]もそうですが、恐ろしく問題文が長文で、問題文を読んでいるだけで制限時間が来てしまうのではないか、と、思えるほどです。気の短い受験生だと、問題文を読みもしないで問題の意図を推測して解答を考える、というようなことになりかねません。京大は、理系受験生に対しても長文読解力を要求しているのです。理系受験生に文学作品や評論を熟読多読せよ、とは言いませんが、講談社のブルーバックスのうちおもしろそうなものをしっかりと読み込んでおく、というようなことくらいはやっておいて頂きたいと思います。
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での物体の速さを
とすると、時刻tでの物体の速さは
ケ となる。
