京大物理'07年前期[3]

次の文を読んで、  には適した式を、{  }には正しい番号を一つ選び、それぞれの解答欄に記入せよ。また問1,問2,問3には適切な説明を所定の枠内に記入すること。

熱力学は気体だけではなく、さまざまな対象にも適用することができる。本問ではひも状の物体の熱力学を考えてみよう。あるひも状の物体を引き伸ばし、長さがからの範囲内で張力
Xを測定したところ、Xは長さLに依存せず、絶対温度Tおよび正の定数Aを用いてと表された。この物体の変形としては、Lからの範囲内にある一次元的な伸縮のみを考え、また内部エネルギーUは正の定数Cを用いてとなるとして、以下の問いに答えよ。

(1) この物体に外から微小仕事を加えて微小量だけ伸ばしたときに、という関係式が成り立つ。吸熱量を,内部エネルギーの変化をとしたとき、熱力学第一法則よりは、ATを用いて あ と表される。一方より、物体を伸ばしたときの温度変化を用いて、内部エネルギーの変化は い とも書ける。
断熱的に物体をゆっくりと微小量伸ばしたときの温度変化は、CATを用いて表すと う となり、温度は{:@ 下降する。 A 変わらない。 B 上昇する。}ただし、とする。

(2) さて、この物体を断熱的にゆっくりと伸ばした。そのときが一定であった。ここで、Tの自然対数である。

1 この理由を述べよ。ただし、正の変数Tまでわずかに変化させたときのの変化量をと表すと、が成り立つことを用いてよい。

(3) 次に、同じ物体を温度Tに保ったまま、長さからLまでゆっくりと変化させたときに物体に外から加えられた仕事は お であり、その間の吸熱量は か である。ただし、 お および か ATLのみで表すこと。

(4) 1のように横軸を物体の長さLとし、縦軸を温度Tとしてこの物体の状態変化を表す。物体を温度に保ちゆっくりと等温変化をさせ、その後ゆっくりとまで断熱変化させ、さらに温度でゆっくりと等温変化をさせた後に、断熱的にゆっくりと温度の初めの状態に戻すサイクルを考えよう。高温熱源(温度)から熱を吸収して仕事をし、低温熱源(温度)に熱を放出するようなサイクルは、{:@ (a)を時計回りに回る。 A (a)を反時計回りに回る。 B (b)を時計回りに回る。 C (b)を反時計回りに回る。}

2 このサイクルでは、が等しくなる。その理由を述べよ。

(5) 一般にサイクルでの熱効率は、物体がサイクルを通じて外にする正味の仕事を、高温熱源から吸収する熱量で割った量として導入される。よって、サイクルを動かす間の熱効率は、とサイクルを動かす間に放出する熱量を用いて く と書ける。

3 これまでの結果を用いて、(4)のサイクルの熱効率がとなる理由を説明せよ。

解答 難しそうに見えますが、簡単です。

(1)   ・・・@ は、外部から物体に加えられた仕事なので、物体が外部にした仕事です。熱力学第一法則より、
 ・・・A
......[]
 より、内部エネルギーの変化は、 ・・・B
......[]
 A,Bより、
断熱変化においては、
 ・・・C
......[]
 Cより、のとき、
温度は上昇するので、B ......[]

(2) 1 Cより、,これと、とから、

これより、は一定です。

(3)  @より、物体に外から加えられた仕事は、

......[]
 Bより、等温変化のとき、
Aより、 ・・・D
吸熱量は、
......[]

(4)  高温等温変化においてを吸収したので、,Dより、,よって、ここで長さが縮みます(右図で高温において右から左に移行する)
高温から低温断熱変化するとき、,Cより、,よって、ここで長さが縮みます(右図のTLとも減少)
このとき
1サイクルで(a)反時計回りに回る(右図参照)ので、A ......[]
補足 このサイクルをカルノー・サイクルと言います。

2 断熱変化においては、Aでとして、
 ・・・E
右図において、
BA(断熱変化)における内部エネルギーの変化は、Eより、
DC(断熱変化) における内部エネルギーの変化は、Eより、
等温変化ではなので、ADCBにおいては、内部エネルギーの変化はありません。
1サイクルでの内部エネルギーの変化(1サイクルでもとの温度に戻るので)0です。
よって、


(5)  1サイクルで、内部エネルギーの変化0,気体が吸収した
物体が1サイクルを通じて外にする正味の仕事として、熱力学第一法則より、
よって、熱効率hは、
 ・・・F
......[]
注.hはギリシャ文字で‘えーた'と読みます。

3 CB(等温変化)において、Dより、 (は吸収する熱量)
AD(等温変化)において、Dより、 (は放出する熱量)
2の結果を利用して、
Fより、熱効率hは、
注.問2(5),問3において、CBで物体が吸収した熱はADで物体が吸収した熱はであることに注意してください。


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