京大物理'07年前期[1]

次の文を読んで、  には適した式を、  には適切な語句を、{  }には図36つのグラフから適切なものを選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。また、問1,問2では指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄の枠内に記入せよ。

1のように、滑らかな面の上で静止している質量の物体1に向かって、質量の物体2を初速で打ち出したとき、衝突によって物体1が受ける衝撃が、緩衝装置によってどのように弱められるかを考える。物体の大きさは無視でき、運動は図の左右一方向のみとし、空気抵抗や面からの摩擦力はないものとする。緩衝装置のモデルとして、図2のような3種類を考える。モデル(a)は、ばね定数Kのばねである。モデル(b)では、自由に空気が出入りできる穴のあるピストンがシリンダー内を動き、シリンダーから一定の大きさFの動摩擦力を受けるものとする。モデル(c)では、穴のあるピストンが、油のつまったシリンダー内を動き、シリンダーに対する相対的な速さに定数Cを乗じた大きさの粘性力を受けるものとする。衝突の間、これらの緩衝装置が縮みきってしまうことはないとする。以下、緩衝装置の質量およびに比べて十分小さいものとし、力、速度、加速度などのベクトル量は、図の右方向を正として表す。

(1) 緩衝装置の右端と左端がそれぞれ物体1と物体2におよぼす力をとする。まず、緩衝装置の全質量に比べ十分に小さいときは、としてよいことを以下で確認しておこう。 ア の法則より、緩衝装置が物体1と物体2から受ける力はそれぞれである。よって緩衝装置が受ける外力の和はであり、それは緩衝装置の重心の加速度に イ をかけたものに等しい。緩衝装置の重心の加速度は物体1や物体2の加速度と同程度の大きさであるので、およびに比べて十分小さいとき、およびに比べて無視してよいのである。

(2) 次に、物体1と物体2の相対運動について考える。(1)で確認したことより、物体1と物体2の加速度をとし、fとおくと、運動方程式はそれぞれと書ける。この2つの式の両辺をそれぞれで割り、それらの差をとると、 ウ となる。この式は、が物体2に対する物体1の相対運動の加速度aであることに注意すると、という形に書ける。ここで、mは換算質量と呼ばれ、により エ と表される。すなわち、質量が2つの物体の相対運動は、質量がm1つの物体の運動と同じ方程式にしたがう。

(3) 以上のことから、モデル(a)(b)(c)の各場合に物体1が受ける力を時間の関数としてグラフに示すと、それぞれ図3{ オ }{ カ }{ キ }となる。モデル(a)(b)(c)の各場合に、物体1が力を受けている時間はそれぞれ ク  ケ ,無限大であり、力の最大値はそれぞれ コ  サ  シ である。( ク  シ ではmを用いてもよい。必要ならば、物体が速度に比例し速度と逆向きの力を受ける場合、速度の絶対値は時間とともに指数関数的に減少することを用いよ。)

1 モデル(a)の場合、衝突後十分な時間がたったあとの物体1の速度は、ばね定数Kに依存しない。その理由を簡潔に述べよ。

2 静止している自動車に別の自動車が追突した。乗客は幸い無事であったが、自動車は2台ともかなりつぶれてしまった。このとき、静止していた自動車の乗客が衝突によって感じる、水平方向の加速度の最大値はいくらか。解答にいたる過程を説明したうえで、有効数字2けたで解答せよ。自動車の質量はいずれもkg,追突した自動車の初速は時速18kmであり、2台の自動車は衝突部分がつぶれて25cmずつ短くなった。つぶれた部分を緩衝装置とみなし、モデル(b)で解析せよ。2台ともブレーキをかけておらず、地面との摩擦は無視でき、また、自動車のつぶれた部分および乗客の質量は無視できるとする。

解答 難しくはないのですが、正解するのはなかなか難しい問題です。

(1)  緩衝装置が物体1と物体2におよぼすとすると、作用反作用の法則より、緩衝装置が物体1と物体2から受けるです。
作用反作用 ......[]
 緩衝装置の重心の加速度として、緩衝装置の運動方程式
.......[]
従って、緩衝装置の全質量に比べ十分に小さいときは、に比べて無視することができます。
とすると、

(2)  物体1の運動方程式:

物体2の運動方程式:


......[
]
 物体2に対する物体1相対加速度として(相対速度を参照)
 ・・・@
これより、換算質量mは、
......[]

(3) 右側の物体1座標速度,左側の物体2座標速度とします。緩衝装置の最初の長さをLとして、において、です。
物体2に対する物体1相対位置相対速度として(相対速度を参照)、物体1が受けるは、
モデル
(a)では、 ・・・A
モデル
(b)では、 ・・・B
モデル
(c)では、 ・・・C
3で衝突して以降の力を正になるように描いているので、Aにおいて,つまり、,Bにおいて,Cにおいて,つまり、であることに注意してください。
 モデル(a)は、Aより、周期単振動です。グラフは、C ......[]
 モデル(b)は、Bより、,これは、加速度等加速度運動です。は一定でグラフは、B ......[]
 モデル(c)は、Cより、
最初相対速度v ()ですが、正の加速度のために次第にvは増加して0に近づきます(vの絶対値は指数関数的に減少)。Cより、力は正の値から指数関数的に0に近づいていくので、グラフは、A ......[]
 モデル(a)では、物体2から物体1の運動を見ると、ばねが一旦縮み自然長に戻るとき(半周期)、物体1が振動中心に戻り、速さが最大になります。ここまでは、物体1はばねの右端と接触しています。
以後、物体1がばねから離れ、物体1は緩衝装置からを受けなくなります。従って、物体1を受ける時間は、単振動半周期で、 ......[]
 モデル(b)では、Bより、物体2から物体1を見て等加速度運動を行い、最初であった相対速度v0となった瞬間(物体1と物体2速度が等しくなる)に、ピストンがシリンダーに対して静止して動摩擦力0になります。
以後、物体2から見て物体1は静止し続け、系は、等速度運動を続けます。従って、物体1を受ける時間をtとして、等加速度運動の公式より、
 ∴
......[
]
 モデル(a)において、単振動の角速度最大になるのは、ばねが最も縮んだとき(振動端)で、最初であったことから、振幅Aとすると、単振動の速さの最大値について、

よって、ばねが最も縮んだときのばねの縮み()は、で、Aより、の最大値は、

......[]
 は一定で、の最大値も、F ......[]
 最初のときに、が最大となります。このとき、より、の最大値は、
......[]

1 最初にばねの縮み0,衝突後に物体1がばねから離れるときもばねの縮み0で、離れる瞬間の物体1,物体2速度として、力学的エネルギー保存より、
運動量保存より、
連立してについて解くと、として、であって、ばね定数Kに依存しません。
この状況は
完全弾性衝突と同じです。反発係数を1として反発係数の式を立てても同じ結果になります。
「衝突の直前直後でばねの弾性エネルギーはいずれも
0であって、系は他に外力も仕事も受けず、衝突後の物体1の速度にばね定数は寄与しない。」 ......[]

2 モデル(b)で考えるので、追突した自動車(物体2)から見て、静止していた自動車(物体1)は、衝突している最中は一定の相対加速度aで運動するとします。
初速= 18km/s = 300m/ = 5m/s
最初の相対速度です。
相対速度0になるまでの間に、2台の自動車は相対的に、s = 25cm×2 = 0.5m近づく(各自動車はもっと動いているはず)ので、等加速度運動の公式より、

であり、問題文が聞いているのは、乗客が感じる物体1加速度の最大値です。
(1)の問題文において、として、慣性質量は、()の結果より、
また@より物体2から見た運動方程式:
乗客から見た物体
1の運動方程式:
よって、静止していた自動車
(物体1)加速度の最大値は、有効数字2桁で、
......[]


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