京大物理'05年前期[1]

次の文を読んで、  には適した式を、  には適した数値を、それぞれ記せ。
1のように、水平な地表面上に敷かれたレールを電車が一定の速さVで動いているとする。このレールは、点Qの手前で点Oを中心とした半径Rの円弧状であり、点Qの先では点Qで円弧に接する直線状となっている。レールの幅、電車の幅、長さ、高さはいずれも、Rに比べて非常に小さいとする。以下の(1)(3)では電車は円弧状のレール上を動いているときについて、(4)では電車が直線状のレールを動いているときについて、車内での小物体の運動を考える。ここで、重力加速度の大きさをgとし、小物体の大きさと小物体に対する空気の抵抗はいずれも無視する。
(1) 電車が点Qの手前の円弧状のレール上を走っているとき、図2のように、電車の天井の点Sから、質量の無視できる長さdの糸でつるされた質量mの小物体は、車内の観測者から見て静止していた。なお、図2はこの電車を進行方向から見たところであり、図の左方向が中心Oの方向である。また、点Aは電車が動いていないときの小物体の静止位置である。このとき、車内の観測者には、車内の小物体に大きさ ア の遠心力が働いているように見えるので、糸が鉛直線SAとなす角度q  イ を満たす。また、糸の張力Tと重力との比はq のみを用いて、 ウ と表される。
(2) 小物体が車内の観測者から見て動いているときでも、その速さがVに比べてじゅうぶんに小さければ、短い間に電車の加速度運動が小物体へ及ぼす影響は、大きさ ア の遠心力のみに現れると近似的に考えることができる。以下、この近似を使って考えることにする。この場合、車内の観測者から見て小物体には常に重力と大きさ ア の遠心力の合力が働くので、あたかも重力加速度の方向と大きさが変化したように見える。この見かけの重力加速度の大きさをとすると、gの比はq のみを用いて表すことができて、 エ となる。
(3) 小物体を点Aから、車内の観測者から見て速さuで電車の進行方向に押し出した。この後、小物体は車内の観測者から見て円運動をした。この円運動の半径はdq を用いて表すと オ である。また、速さudq を用いて表すと カ であり、円運動の周期はdq を用いて表すと キ となる。
(4) この小物体が(3)のように円運動をしていて、ちょうど点Aを通過したときに、電車は図1のレール上の点Qを通過し、直線状のレールに速さVのまま移った。この直線状のレール上を走っているとき、車内の観測者が見ると、図3のように、小物体は点Aを中心とする振動をした。この振動において、点Aから測った小物体の最高位置の高さhugを用いて、 ク と表される。したがって、この振動において糸が鉛直線となす最大の角度をqとして、 エ  カ の結果を使って、のみを用いて表すと、 ケ となる。ここで、aq も小さいとしておよびと近似すると、 コ となる。

解答 難問なのですが、誘導に従って考えてゆけばゴールにたどりつけます。(3)u(4)uが結びつけばよいのです。

(1)() 等速円運動している電車の加速度です。電車内の観測者から見て小物体に働く遠心力は、 ......[]
() 右図より、 ......[]
(
) 張力Tと見かけの重力がつりあうから、 ......[]

(2)() ......[]

(3)() 電車内の観測者から見て、小物体は、Aを通り図2の糸の方向(つりあいのときの方向)と垂直な面内で等速円運動する。
円運動の半径は、 ......[]
() 2の糸の方向での力のつり合いより、

等速円運動運動方程式
......[]
() 円運動の周期とし、円周の長さを考えて、
......[]

(4)() A位置エネルギーの基準として、Aでは運動エネルギーのみ、最高点では、位置エネルギーのみ。
力学的エネルギー保存より、
.......[]
() (2)の結果(3)の結果より、
一方、図3より、
よって、
......[]
() 問題文の近似を行うと、

1 ......[
] 

(3)は、「見かけの重力」を重力のように考えて、糸に角度をつけて小物体に速度を与えると考えれば、円錐振り子になっていることがわかると思います。
(4)は、円錐振り子の円の接線方向の速度(等速円運動の速さ)振動中心での速さになることに気づけばよいでしょう。振動を考える必要もなく、力学的エネルギー保存則の式を立てるのみで解決します。


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