京大物理'04年前期[2]

次の文を読んで、  に適した式をそれぞれの解答欄に記入せよ。なお、文中に挿入された問1については、解答欄にグラフを描け。
 図
1のように、一端が壁Aで閉じられた、断面積Sのシリンダーがあり、摩擦なしで動くことができるピストンBCによって3つの空間領域T,U,Vに分けられている。領域Tには電気抵抗rのニクロム線でできたヒーターがあり、内部抵抗を無視できる起電力Vの電池とスイッチKでできた外部の回路に導線でつながれている。ピストンBにはごく細い通気口が開けられているが、最初は弁Dによって閉じられている。ピストンBCは、フックの法則に従う自然の長さがLのばねで結ばれている。シリンダー内には、壁Aから距離の位置にストッパーが、さらにからばねの自然長LとピストンBCの厚さをあわせた距離の位置にストッパーが設けられ、ピストンを停止できるようになっている。ただし、Lより大きい。また、シリンダーとピストンはともに断熱材でできており、ストッパー、ばね、弁、通気口、ヒーターおよび導線の体積は、いずれも無視できるものとする。なお、大気圧をとする。
最初は、領域Uは真空で、領域Tには単原子分子理想気体が入れられ、その圧力と温度がそれぞれであった。また、領域Vは常に大気圧の外気と通じている。図
1に示したように、この状態でピストンBはストッパーに接触して停止し、ピストンCはストッパーから距離aの位置で停止していた。このことから、ばね定数は イ であることが分かる。その後、以下のように過程(1)から(4)の順にシリンダーの状態を変化させた。
(1) スイッチKを閉じて回路に電流を流すと、領域Tの気体の温度はゆっくりと上昇し、ある時刻にピストンBがストッパーを離れ始めた。このときの領域Tの気体の温度は ロ であった。電池により供給されたエネルギーがすべて気体に吸収されたとすれば、この時刻はスイッチKを閉じてから時間 ハ の後である。
(2) その後、ピストンBはゆっくりと移動し、領域Tの気体の温度が ニ になると、ピストンCがストッパーに接触し停止した。この過程で領域Tの気体が吸収した熱量は ホ である。
(3) さらにピストンBはゆっくりと移動し、ピストンBC間の距離が縮まっていった。ばねの長さがに達した時点でスイッチKを開いた。このとき領域Tの気体の温度は ヘ であり、過程(3)で領域Tの気体が吸収した熱量は ト である。
1 (1)から(3)までの過程における領域Tの気体の状態変化の様子を、図2のように体積を横軸に、圧力を縦軸にとり、解答欄にグラフで示せ。グラフ用紙の横軸と縦軸の目盛りの数値は、それぞれ量1として表している。例えば図中の×印の点は、体積が,圧力がの状態に対応する。グラフは概略を示すものでよいが、図中の記入例にならって、各過程の始点と終点に黒丸・を、さらに適当な位置に(1)(2)(3)の番号を付け、グラフのそれぞれの部分がどの過程を表すかが分かるようにすること。
(4) その後、ピストンBの弁Dを開いたところ、ピストンBはゆっくりと動き始め、ばねは自然長に戻ったが、ピストンCはストッパーに接触したままであった。スイッチKは開いていたから、この過程は断熱変化である。ばねが自然長に戻ったとき、シリンダー内の気体の温度は チ であった。また、このときにもピストンCがストッパーに接触したものであったことから、ばねの自然長Lと長さaの間には、 リ の関係が成り立っていたことが分かる。

解答 「ばねつきピストン」というだけでなく、(4)では、自由膨張まで考えるので、問題文に「断熱変化」というヒントはありますが、それでも考え込んでしまいます。

() ばね定数をkとします。最初、ピストンCには、右向きで大きさ(ばねの)弾性力と、左向きで大きさ大気圧によるが働いて、つりあっています。
力のつり合い
......[]
最初の領域Tの気体(以下、気体Tとします)について、
状態方程式 ・・・@

(1)() ピストンBがストッパーを離れるとき(ピストンBとストッパーの間の垂直抗力0)、気体Tの圧力P温度として、ピストンBとばねとピストンCから成る系に働くは、気体Tの圧力による右向きで大きさと、大気圧による左向きで大きさで、この両者の力のつり合いより、
このときの気体Tの状態方程式 ・・・A
A÷@より、
.......[]

() スイッチKを閉じてから、ピストンBがストッパーを離れるまで(この間の変化は定積変化です)時間tとして、気体Tが吸収した
気体Tの体積は変化していないので、気体Tのした仕事0
気体T(単原子分子理想気体なので定積モル比熱です)内部エネルギーの変化は、温度と変化したので、@を用いて、
熱力学第一法則より、
......[]

(2)() (1)の後、ピストンBとばねとピストンCから成る系に働くは、右向きの気体Tの圧力によると、左向きの大気圧によるのみです。ピストンBがゆっくり移動したと問題文に書かれているので、無視できるくらいの小さな速度等速度運動したと考えると、過程(2)においても、ピストンBとばねとピストンCから成る系に働く力のつり合いが成立します。従って、気体Tの圧力で一定に保たれていて、気体Tは定圧変化をしています。
ピストンCがストッパーに接触したとき、気体Tの体積で、温度として、気体Tの状態方程式 ・・・B
B÷@より、
......[]

() 単原子分子理想気体の定圧モル比熱です。過程(2)において気体Tの温度は、と変化します。
定圧モル比熱の式を用いると、過程(2)において気体Tが吸収した熱量は、@を用いて、
......[]

(3)() ばねの長さがに達した時点(ばねの縮み)で、気体Tの体積で、圧力温度として、
ピストンBに働く力のつり合い
()の結果を用いて、
この時点での気体Tの状態方程式 ・・・C
C÷@より、
......[]

() 過程(3)において、ピストンCはストッパーに押さえられているので、気体Tは大気に対しては仕事をせず、ばねに対してのみ仕事をします。
ばねの縮みと変化するので、気体Tがばねに対してした仕事、即ち、ばねが蓄えた弾性エネルギーは、()の結果を用いて、
気体Tの温度と変化するので、この間の気体Tの内部エネルギーの変化は、
熱力学第一法則より、過程(3)において気体Tが吸収した熱量は、
......[]
なお、過程(3)において、ばねの縮みxとする()と、気体Tの圧力P体積の間には、
ピストン
Bに働く力のつりあい
より
xを消去して、
 ・・・D
という関係があります。

1 各過程において、(体積圧力)の変化を確認しておくと、
過程
(1)では、 (定積変化)
過程(2)では、 (定圧変化)
過程(3)では、と変化します。Dより、グラフは直線の一部分になります。状態変化の様子をグラフに表すと右図。

(4)() 過程(4)断熱変化で気体の吸収した熱量0です。
Dを開けると気体は領域Uへ漏れ出しますが、領域Uは真空で真空への膨張(自由膨張)では、気体は仕事をしません。ピストンCがストッパーに接触したままなので、気体Tは大気に対しても仕事をせず、ばねに対してのみ仕事をします。
ばねの
縮みと変化するので、気体Tがばねに対してした仕事、即ち、ばねが蓄えたエネルギーは、(3)と同様にして、
負になるということは、ばねが弾性エネルギーを放出して気体に対して仕事をした(気体は仕事をされた)ということです。
過程
(4)において、気体Tの温度になったとして、気体の内部エネルギーの変化は、
熱力学第一法則より
@より、だから、

......[]

() ばねが自然長にもどったとき、領域T,領域Uにある気体の体積,このときの気体の温度圧力として、
状態方程式 ・・・E
E÷@より、


ピストンCがストッパーに接触したままだったということは、ピストンCに働くは、右向きのの大きさが左向きのの大きさ以上だということです(ストッパーから受ける左向きの垂直抗力を含めて力のつり合いが成立します)。つまり、領域T,領域Uにある気体の圧力大気圧以上だということです。


......[]


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