京大物理'04年前期[1]

次の文を読んで、  には適した式を、{  }からは正しいものを選びその番号を、  には2050字程度の適切な語句を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、  は、すでに  で与えられたものと同じものを表す。
質量を無視できる軽いひもの一端が原点
Oに固定され、他端には、質量mの、大きさを無視できる小球がつけられている。ひもは自然長がlで、自然長より引き伸ばす引張りに対しては、フックの法則に従うばね定数kのばねのようにふるまうが、圧縮や曲げには全く抵抗しない。ここで、重力加速度をgとし、小球とひもの運動に対する空気の抵抗は無視できるものとする。また、原点Oから水平方向にx軸、鉛直上方にy軸をとり、y軸上のの点をAとする。
(1) 1のように、小球を静かにつるしたとき、小球は ア において静止した。この位置を点Bとする。
(2) 小球を点Aから静かに放したときの運動を考えよう。小球が到達する最下点は、{イ.@点Bより上である。A点Bに一致する。B点Bより下である。Cこれだけでは判断できない。}また、この場合の小球の運動は ウ である。(ウには、例えば「点Aから点Bにいたる等速直線運動」のような語句を記入せよ。)
(3) 次に、小球を原点Oから静かに放した場合を考えよう。小球が放されてから初めて (ただし、)に達したときの速度の大きさは エ で与えられる。また、小球が達する最下点は、点Bより距離 オ だけ下の位置である。
小球が初めて点Aに達してから次に点Aにもどってくるまでの所要時間を調べてみよう。小球が初めて点Aに達してから初めて点Bに達するまでの間における速度の大きさの最小値は カ である。一方、小球が初めて点Bに達してから次に点Bにもどってくるまでの所要時間は キ である。したがって、所要時間は、
 オ  キ 
 カ 
より小さい。
以上の結果より、ばね定数
kが非常に大きい極限では、ひもの伸びの長さ、および、ひもが伸びている間の時間は、ともに非常に小さくなる。したがって、この場合の小球の運動は、点Aを通る水平な床に衝突し、反発係数(はねかえり係数)1ではねかえる場合の運動と同じであるとみなすことができる。
(4) 以下では、ばね定数kは十分大きくて、(3)の最後で述べた考え方が成り立っているものとする。
今度は、小球をy軸上の (ただし、)の点Cから、時刻に、x軸の正の向きに初速度 (ただし、)で投げた。ひもは、小球がある点Dに達したとき、初めて伸びきった。その後、小球はCD間の経路を逆にたどって点Cを通過し、点Eで再びひもが伸びきった後、CEの経路を逆にたどって点Cにもどり、以後これを繰り返して周期運動を続けた。この周期運動が実現するために必要な、の間の関係を調べてみよう。まず、点Dに達する直前の小球の速度のxy成分と、点Dxy座標の間には、 ク の関係が成り立っていなければならない。また、小球が初めて点Dに達した時刻をとして、T,および重力加速度gを用いて表せば、 ケ  コ である。も同様にして表すことにより、Tの間の関係、 サ が得られる。したがって、でなければならない。さらに、条件を用いれば、は初速度の関数として決まり、 シ となる。

解答 糸につながれた物体の運動について、糸がぴんと張る瞬間には、完全弾性衝突のように考えようという問題です。

(1)() ばねの伸びsとして、小球のy座標です。小球に働く力のつり合いより、

よって、小球を静かにつるしたとき、小球が静止する位置Bは、

.....[]

(2)() 小球をAから静かに離すと、小球が到達する最下点は、
B Bより下である。 .....[]
() この場合の小球の運動は、
ABを振幅、Bを振動中心とする単振動 ......[]
になります(単振動参照)

(3)() 小球を原点Oから静かに離すとき、重力による位置エネルギーの基準を原点Oにとると、原点Oにおいて、重力による位置エネルギー0,ひもはたるんでいるので弾性エネルギー0運動エネルギー0です。位置において、重力による位置エネルギー,ひもはs伸びているので弾性エネルギー速さvとして運動エネルギーです。
力学的エネルギー保存より、
......[] ・・・@
() 小球が到達する最下点ではとなります。@において、とすると、
整理すると、

より、
小球が達する最下点は、点
Bより距離 ......[] だけ下の位置。
() @の根号内を平方完成すると、
小球がAB間にいるとき、より、この範囲においてのとき(小球がAに来たとき)に最小値をとります。
よって
速度の大きさの最小値は、 ......[]
() 小球はBを振動中心とする単振動を行う。単振動の周期で与えられるから、初めてBに達してから次にBに戻ってくるまでの所要時間は、単振動の半周期に等しく、 ......[]

小球の速さAからBまで増大するので、AからBまでの所要時間は、距離Aにおける速さで等速運動した場合に要する時間よりも短いはずです。BからAに戻る時間についても、運動の対称性より、同様です。従って、初めてAに達してから次にAにもどってくるまでの所要時間について、
となるはずです。
ここでとすると、右辺は
0に近づくので、となります。
問題文に書いてあるように、ばね定数
kが非常に大きい極限(ひもに柔軟性がなく非常に堅い)では、ひもの伸びの長さ、及び、ひもが伸びている時間は、ともに非常に短くなり、この場合の小球の運動を、反発係数1の衝突と同等に扱うことができます。

(4) 問題文の途中にでなければならないと書いてありますが、右図(a)のように、初期位置Cが原点よりも上にある場合、ひもが伸びきったとき、つまり小球がDに来たとき、小球の速度ベクトルよりも傾きが大きく、と同じ向きを向くことはありません。ということは、ODと垂直な面とDにおいて完全弾性衝突すると考えると、衝突後に進む方向は衝突前に進んできた方向と異なる方向です。これでは、問題文にあるような周期運動にはなり得ません。
従って、周期運動を行うのであれば、右図(b)のように、初期位置Cは原点よりも下側(つまり)であって、Dにおける小球の速度ベクトルと同じ方向を向くはずです。Dにおいて、ODに垂直な面と完全弾性衝突する、と考えると、衝突後に進む方向は方向であって、もと来た道筋をたどって初期位置に戻り、における運動と対称な運動をにおいて行い、以後周期運動を続けることになります。

() x軸正方向となす角の大きさをq とすると、Dなので、です(に注意)
一方Dにおける速度ベクトルの方向もと同じ方向なので、です(に注意)
以上より、
......[] ・・・A
() 小球は初期位置Cより、x軸方向には等速度運動(速度)を行い、y軸方向には等加速度運動(加速度初速度0)を行います。
よって、 ......[] ・・・B
() ......[] ・・・C
() また、,及びAより、
分母を払うと、
......[] ・・・D
この式からも、が確認できます。また、Cより、
・・・E
() より、
B,D,Eより、
整理すると、
これを解き、となる解を選ぶと、
......[]


   京大理系物理TOP   物理TOP   CHALLENGE from the VOID   TOPページに戻る

(C)2005,2006,2007,2008,2009
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
CFV21ご入会は、まず、
こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」購入