京大物理'03年前期[1]

次の文を読んで、  に適した式をそれぞれの解答欄に記入せよ。なお、  は、すでに  で与えられたものと同じものを表す。また、下線部に関して、単振動が生じる理由を解答欄(A)に記入せよ。

重力加速度の
2倍まで加速が可能なエレベーターを想定する。以下では、すべて、エレベーターに固定された観測者から見た運動を考え、空気による抵抗は無視する。なお、必要であればを利用せよ。
エレベーターが静止している状態で、床に固定された質量の無視できるばね
(ばね定数k)の上に、厚さの無視できる質量Mの台Pを固定し、その上に大きさの無視できる質量mの物体Qを静かに置いたとき、台Pは図1のように天井からHの距離で静止した。重力加速度をgとしたとき、ばねは自然長から イ 縮んでいる。
この状態でエレベーターが図
2のように上昇を始めたとき、台Pと物体Qは自然長から ロ 縮んだ位置を中心として単振動を始めた。この直後、観測者は台Pと物体Qをつかんで、つりあいの位置すなわち単振動の中心位置にPQを静止させた。
次に、図
2で速度が一定になる時刻の後のPQの運動について考える。時刻の後、PQは再び運動を始める。運動開始後の鉛直上向きの加速度をbPQ間に働く垂直抗力をNとする。ばねが自然長からx縮んでいるとき、Pの運動方程式は ハ Qの運動方程式は ニ となる。b を消去することで、垂直抗力は ホ となり、の場合にはQが台Pから離れ、その位置は、ばねの自然長位置である。そのときのQの速度(鉛直上向きを正とする)は、エネルギー保存則
× ロ  ヘ 
からとなる。台Pから離れた後、Qがエレベーターの天井に衝突しない条件はH > ト である。
この条件を満たすとき、
PQが離れた後のそれぞれの運動の概略は図3のようになる。Qの台Pと衝突するまでの時間とその位置に関し、の場合について次のように考察した。
PQを放出した後、周期 チ の単振動となり、その振動の中心はばねの自然長先端から リ 下がった位置にある。また、台Pはばねの自然長からさらに ヌ 伸びた位置で最高点に達する。このことから、台PQを放出した位置から再びその位置に戻って来るのに要する時間は ル である。一方、Qが台Pから離れた瞬間の位置から再びその位置に戻ってくるのに要する時間は ヲ であることから、Qが台Pに到達するのはこれ以降となる。

解答 もう少し受験生のことも考えて解答しやすい問題の方が良いのでは、という気がしますが、問われていることも幅広く難問です。

() ばねの自然長からの縮みdとして、力のつり合いより、
......[]

() 図2より、このときのエレベーターの加速度aであり、PQは鉛直下向きに大きさ慣性力を受けます。単振動振動中心は、力のつり合いの位置なので、力のつり合いの位置を考えます。慣性力も含めた力のつり合いが成立するときのばねの縮みとして、
......[] (()の結果のgを、見かけの重力としたものになっています)

(A) 単振動が生じる理由:ばねの縮みx加速度aとして、
PQ運動方程式

これは、()の結果:縮んだ位置振動中心とする、角振動数単振動を表す。

() Pが受けるは、Qから受ける鉛直下向きの垂直抗力Pに働く重力,ばねから受ける鉛直上向きの
P運動方程式 ......[]

() Qが受けるは、Pから受ける鉛直上向きの垂直抗力NQに働く重力
Q運動方程式 ......[]

() ()の結果より、()の結果に代入して、
......[]

注.において、PQに働く慣性力がなくなってしまうと、()()()の結果より、PQが接触している条件は,つまり、となります。になると、となり、QPから離れます。においては、PQは、自然長よりd縮んだ位置振動中心として単振動しますが、において、PQ縮んだ位置にいたので、単振動の振幅です。,つまり、となる場合には、上側の振動端に到達するので、PQが離れることになります。

() 時刻直後では、ばねはだけ縮んでいて、PQは等速度運動しています。このときの力学的エネルギー(つまり()の答)は、
......[]

Pと離れるときのQ速度vとします。問題文中の力学的エネルギー保存の式より、


これより、
・・・@

() 自然長の位置と天井との距離だから、Qがエレベーターの天井に衝突しない条件は、Pと離れるときのQ運動エネルギーが、Pと離れる時のQ位置を基準とした天井におけるQ位置エネルギーよりも小さいことです。

@を代入して、

......[]

() Qを放出した後、台P単振動周期は、公式より、
......[]

() Pだけになったときの力のつり合いより、つり合いの位置、即ち、振動中心は、ばねの自然長の位置から ......[] 下がった位置にあります。

() 求める伸びA ()とします。QPと離れた直後P力学的エネルギーは、この位置を重力位置エネルギーの基準として、運動エネルギーP最高点に達したとき力学的エネルギーは、重力位置エネルギー,及び、弾性エネルギーです。
力学的エネルギー保存より、
@を代入して、
より、

となる解をとって、 ......[]

() ()より、Pだけのときの単振動振幅(つり合いの位置最高点との距離)は、
Pのみのときに、つり合いの位置時点0とする時間tPつり合いの位置から自然長の位置に来るまでの時間Pが再び自然長の位置にもどるまでの時間とします。Pつり合いの位置から変位は、
とおけて、
QPと離れた位置、すなわち自然長の位置においては、
より
再び自然長の位置にもどったときには、
より
よって、求める時間は、
......[]

注.ここは、直感的に、単振動を等速円運動する物体の影が作る運動と考える方が簡単です。
原点を中心とする、半径の円周上をから出発して反時計回りに運動する点の影のy座標になるのは、回ったところと、回ったところで、運動する点は、この間に回転するので、円周のだけ回転する時間、つまり、周期時間が答になります。

() 等加速度運動の公式より、
......[]


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