京都大学2003年前期物理入試問題

[1]
 次の文を読んで、  に適した式をそれぞれの解答欄に記入せよ。なお、  は、すでに  で与えられたものと同じものを表す。また、下線部に関して、単振動が生じる理由を解答欄(A)に記入せよ。

重力加速度の
2倍まで加速が可能なエレベーターを想定する。以下では、すべて、エレベーターに固定された観測者から見た運動を考え、空気による抵抗は無視する。なお、必要であればを利用せよ。
エレベーターが静止している状態で、床に固定された質量の無視できるばね
(ばね定数k)の上に、厚さの無視できる質量Mの台Pを固定し、その上に大きさの無視できる質量mの物体Qを静かに置いたとき、台Pは図1のように天井からHの距離で静止した。重力加速度をgとしたとき、ばねは自然長から イ 縮んでいる。
この状態でエレベーターが図
2のように上昇を始めたとき、台Pと物体Qは自然長から ロ 縮んだ位置を中心として単振動を始めた。この直後、観測者は台Pと物体Qをつかんで、つりあいの位置すなわち単振動の中心位置にPQを静止させた。
次に、図
2で速度が一定になる時刻の後のPQの運動について考える。時刻の後、PQは再び運動を始める。運動開始後の鉛直上向きの加速度をbPQ間に働く垂直抗力をNとする。ばねが自然長からx縮んでいるとき、Pの運動方程式は ハ Qの運動方程式は ニ となる。b を消去することで、垂直抗力は ホ となり、の場合にはQが台Pから離れ、その位置は、ばねの自然長位置である。そのときのQの速度(鉛直上向きを正とする)は、エネルギー保存則
× ロ  ヘ 
からとなる。台Pから離れた後、Qがエレベーターの天井に衝突しない条件はH > ト である。
この条件を満たすとき、
PQが離れた後のそれぞれの運動の概略は図3のようになる。Qの台Pと衝突するまでの時間とその位置に関し、の場合について次のように考察した。
PQを放出した後、周期 チ の単振動となり、その振動の中心はばねの自然長先端から リ 下がった位置にある。また、台Pはばねの自然長からさらに ヌ 伸びた位置で最高点に達する。このことから、台PQを放出した位置から再びその位置に戻って来るのに要する時間は ル である。一方、Qが台Pから離れた瞬間の位置から再びその位置に戻ってくるのに要する時間は ヲ であることから、Qが台Pに到達するのはこれ以降となる。
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[2] 次の文をよく読んで、  に適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、を満たす任意の微小量xyに対してを用いてよい。

(1) 圧力Pの気体の体積Vが微小体積だけ増加したとき、気体がされた仕事は い である。このとき気体の内部エネルギーがだけ増加すると同時に熱量Qが気体に流れ込む。この熱量Qは熱力学第1法則を考慮すると ろ と表される。

(2) モル比熱とは1molの気体の温度を1K上昇させるのに必要な熱量である。圧力P,体積V,温度T1molの理想気体は状態方程式を満たす。ただし、Rは気体定数である。この気体を圧力を一定に保った状態で、体積、温度をそれぞれだけ変化させると、 は という関係式が成り立つ。したがって、定圧モル比熱と定積モル比熱の差は に となる。

(3) 1molの理想気体の圧力、体積、温度をそれぞれPVTからに断熱的に微小変化させてみる。このときを比熱比を用いて表すと ほ である。次に状態方程式を考慮して、PTを用いて表すと へ となるので、 と と書ける。

(4) 今までの議論を踏まえて、地表近くの空気の温度低下率について考えてみよう。地表から10km位までの空気の層は対流圏と呼ばれ、空気の塊が重力加速度gを受けながらゆっくりと上昇または下降する。今、空気を断熱変化をする理想気体とみなし上昇している空気の塊に着目する。密度r の空気の塊が高さだけ上昇すると、圧力はだけ変化する。またr 1molあたりの空気の質量Mおよび、PTRを用いて ち と表されるので、圧力の変化率は り という関係を満たす。以上のことから、温度変化率をMggRを用いて表すと、 ぬ となる。
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[3] 次の文を読んで、文中の  に適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。  はすでに  で与えられたものと同じものを表す。ただし、プランク定数をh,光速をcとする。

振動数
nの光子のエネルギーは ア ,運動量は イ である。真空中で、振動数nのガンマ線の光子が、原点に静止している質量mの粒子1によって散乱されて、光子の振動数はになり、粒子1は一定の速度uで動き始めた。このとき、粒子1の内部エネルギーに変化はなかった。速度uの方向をx軸の正の方向に取ると、図1に示すように、入射光子の方向と散乱光子の方向のなす角度はであり、入射光子の方向と粒子1の速度uのなす角度はjであった。ここでjより少し小さい角度とする。入射光子の方向の運動量の保存則から イ = ウ となる。また、散乱光子の方向の運動量の保存則からも同様の式が得られ、エネルギー保存則も成り立つ。その結果、粒子1の速度u,入射光子の振動数nと散乱光子の振動数は、jmchを用いて表すと、それぞれ、u エ n オ  カ と書けることがわかる。
以下の問題で粒子
1の速度が必要になったときはuのままでよい。図1に示すようにに質量mの粒子2が静止していた。時刻に粒子1は粒子2と衝突して、両粒子は合体して動き出した。合体した粒子を粒子3と呼ぶ。粒子3の速度は粒子1の速度uを使って表すと キ であり、衝突の結果、内部エネルギー ク が発生した。粒子3は時刻から一定速度で動きながら、この内部エネルギーを使って、赤外線を大量に四方八方に連続的に放射し始めた。この放射は時刻には完全に停止した。図1に示すように、地点で静止していた観測者Aが、粒子3からの放射を計測していた。時刻と時刻に粒子3からAに向けて放射された赤外線は、それぞれ時刻 ケ と時刻 コ Aに達する。したがって、観測者Aが粒子3からの赤外線の放射を受光していた時間間隔は サ となる。
なお、赤外線は電磁波の一種であり、放射体の速度によらず、真空中を光速
cで進む。また粒子3は、原点と観測者Aの間にあるとする。
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