京大物理'02年前期[3]

次の文を読んで、文中の  に適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。  はすでに  で与えられたものと同じものを表す。なお、微小量x ()および実数aに対して成り立つ近似式を用いよ。

音波と電波の両方を同時に用いると、以下のようにしていろいろな高度での音速を測定することができ、測定された音速から大気の温度の高度分布を知ることができる。ここで音速をで表し、電波の速さを真空中の光速
c ()と等しいとする。音速は光速cより十分小さいのでは微小量であることに留意せよ。
大気は通常では電波を反射しない。しかし、図
1に示すように音波を発射して大気の密度の増減を引き起こすと、電波を反射する面が音波の波長に等しい間隔でいく重にもあらわれ、地上から発した電波の一部は、これらの面で反射して再び地上に戻ってくる。この反射面の間隔は音波の振動数をとすると ア である。
1に示すように、地上から垂直に上空に向け、振動数の音波を短時間発した。音波を発して時間後に、音波と同じ方向に、やはり短い時間だけ電波を発射したところ、電波を発して時間後に地上に戻ってきた電波が観測された。このことから反射が生じた高度はh イ であることがわかる。
電波に対して音波など一般の波と同じようにドップラー効果を考えることができ、観測者および波源の動く速さが光速より十分に小さいときには、ドップラー効果の関係式は音波の場合と同じになる。よって、音速で上昇する仮想的な観測者には電波の振動数は発射した電波の振動数
fからずれてみえ、と表される。ここで、振動数のずれ ウ となる。したがって、反射してきた電波を地上で測定すると、その振動数はと表すことができる。ここで、振動数のずれ エ となり、これより高度hにおける音速を知ることができる。
このような観測では地上に戻る電波が強いことが望ましい。そこで発射する電波の振動数
fを変えて繰り返し発射し、反射してくる電波の強度を観測した、その結果、電波の強度は振動数fとともに大きく変化し、のときに最大になった。その理由を考えてみよう。電波の速さは音速で上昇する観測者に対しても光速cに等しいので、振動数fで発射した電波に対して、この観測者が見る波長はl オ となる。したがって、異なった反射面で反射される波が互いに強め合う条件は、自然数nを用いてl カ となる。この関係式においてとおくと、音速は電波の振動数を用いて キ と表すことができる。ただし、は微小量なのでを含む項は無視せよ。
音速は高度とともに変化する大気圧には直接依存せず、大気を構成している分子の速さの平均
(二乗平均速度)で近似的に与えられることがわかっているので、音速は絶対温度T ク 乗に比例することになる。したがって、いろいろな高度で音速を測定すれば、それぞれの高度における大気の温度を知ることができる。例えば、ある観測の結果、であったとすると、 エ で与えられることを用いて、電波が反射された高度での音速は ケ m/s,温度は コ となる。それぞれ有効数字3桁および2桁で答えよ。ここで、音速はにおいてであるとして計算せよ。

解答 () 反射面の間隔は、音波の波長です。
よって、 ......[] (波の公式を参照)

() 電波は光速cで、時間の間に距離hを往復するから、
......[]

() 観測者が速さで遠ざかります。ドップラー効果の公式より、観測される振動数は、
......[]

() 反射面にいる振動数の波源が速さで遠ざかります。ドップラー効果の公式より、


......[]

() 速さで電波源から遠ざかる観測者の観測する振動数であって、電波の速さcだから、この観測者が観測する電波の波長は、
......[]

() 「異なった反射面」と問題文にありますが、自然数は1nしか出てこないので、「隣接した反射面」として考えます。
隣接した反射面の距離()よりで、隣接する反射面で反射する2つの電波の経路差はこの2倍になります。経路差波長の整数倍のときに強め合うので、nを整数として、
 (波の干渉を参照)
......[]

() ()()の結果より、
ここで、として、
分母を払って整理すると、
......[]

() 大気構成分子の質量m速さ2乗の平均値をとします。より、
 (気体分子運動論を参照)
従って、音速絶対温度 ......[] に比例します。

() ()の結果を用いて、
......[]

() ・・・@
のとき、絶対温度,このときの音速330m/sだから、
・・・A
@÷Aとして、

求める温度は、 ......[]


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