京大物理'02年前期[2]

次の文ABを読んで、  に適した式をそれぞれの解答欄に記入せよ。なお、単位系は国際単位系(SI)を用い、すべての装置は真空中に置かれているものとして、真空の透磁率をとする。

A.図1および図2に示すように、水平面上にある十分に長い直線導体Pに直線電流Iが流れている。2本の直線導体Qおよびが導体Pを含む水平面内にあり、導体Pから距離xの位置において導体Qの間隔がxに等しくなるように配置されている。これら2本の導体の上に、質量mの直線導体Kがおかれていて、導体Pと平行のままx方向に摩擦なしに動くことができる。

(1) 1に示すように、導体Kを一定速度vx方向に運動させる。導体Kに達したとき、導体Kの位置における磁束密度の大きさは あ で与えられ、導体Kが導体Qおよび導体と接触する2つの点、cの間に発生する起電力は い となる。

(2) 2に示すように、導体Kが位置に静止した状態で、導体Qと導体の間に抵抗Rを介して起電力Eの電池を接続し、ループ回路を構成する。ただし、導体の抵抗は抵抗Rに比べて十分小さく、また、ループ回路を流れる電流が作る磁界は直線電流Iが作る磁界に比べて十分小さく、いずれも無視できるものとする。このとき、導体Kには大きさ う の力が働き、x方向に動き始める。に達したときに導体Kの速度がvであったとすると、そのとき導体Kを流れる電流は え であり、導体Kの加速度は お と表される。そして十分長い時間がたつと、導体Kの速度は一定値 か に近づいていく。

B.図3に示すように、2本の十分長い直線導体Pおよびy軸に平行におよびの位置に並んでいて、いずれにもy軸の正の方向の直線電流Iが流れている。これらの導体と同じ平面内にx軸に平行な2本の直線導体Qおよびが間隔hで並んでいて、導体Qと導体の上にはy軸に平行のまま摩擦なしにx軸に沿って動くことのできる質量mの直線導体Kがおかれている。ここでx軸,y軸は水平面内にある。導体Qと導体の間には、抵抗RとスイッチSを介して起電力Eの電池が接続されており、はじめはスイッチを開いておく。導体の抵抗は抵抗Rに比べて十分小さく、また、ループ回路を流れる電流が作る磁界は電流Iが作る磁界に比べて十分小さく、いずれも無視できるものとする。

(1) 紙面に対して上向きをz軸の正の方向とすると、位置xにおけるz方向の磁束密度は き で与えられる。導体Kが原点近傍の位置に静止した状態でスイッチSを閉じると、導体Kにはx方向の力 く が働く。距離bdに比べて十分短くが成り立つとき、導体Kに働くx方向の力は け と近似することができる。

(2) 初期位置が原点に十分近く、導体Kが磁界中を動くことによって発生する起電力は電池の起電力Eに比べて無視できると仮定する。このとき、導体Kの近傍において角振動数w こ で単振動する。

(3) 導体Kが磁界中を動くことによって発生する起電力が電池の起電力Eに比べて無視できる条件を求めてみよう。はじめに導体Kの位置で静止していて、スイッチSを閉じた後のまわりで単振動しているとき、導体Kに発生する起電力の最大値は角振動数wを用いて さ と表される。したがって、この起電力が電池の起電力Eに比べて無視できるための条件は、(2)で求めたwの表式を代入することによって、b し と表される。

解答 コの字型回路ならぬハの字型回路の問題です。

A(1)() における磁界は、磁束密度は、 ......[]
磁界の向きは、右ねじの法則により、紙面手前より向こう向きです。

() 導体Qと導体に挟まれた部分で導体K微小時間の間に通過する部分(台形)面積は、
を無視して、
を貫く磁束は、
電磁誘導の法則より、起電力の大きさは、
......[] (問題文に起電力の向きについての指定がないので、大きさを答えておく)
フレミング右手の法則より、運動の方向(親指)x方向、磁界の方向(人差し指)が紙面手前より向こう向きで、起電力の向き(中指)は、の方向です。

(2)() における磁束密度()の結果においてとして、
導体Kが受けるの大きさは、
......[]
フレミング左手の法則より、磁界の方向(人差し指)が紙面手前より向こう向き、導体K電流の方向(中指)y軸負方向で、の方向(親指の方向)x軸正方向です。

() ()の結果より、起電力の大きさは導体Kの移動中に(向きはの向き)で一定です。よって、導体Kを流れる電流は、
......[] (電流正の向きの指定がないので、起電力Eの流す電流を正として答えておく)

() 導体Kx軸方向の加速度aとして、運動方程式
......[]

() はじめなので、ですが、なので次第にvが増大して、となり、
よって、
......[]

B(1)() 位置xP位置との距離位置x位置との距離
P電流位置xに作る磁界z軸正方向を正として、電流位置xに作る磁界は、
位置xにおける磁束密度は、
......[]

() ()の結果においてとして、
導体Kの受けるの向きは、フレミング左手の法則より、磁界の向き(人差し指)z軸正方向、導体Kを通過する電流の向き(中指の向き)y軸負方向で、の向き(親指)x軸負方向なので、x軸方向のの符号を負として、導体Kの受けるは、
......[]

() ()の結果において、により、を無視すると、
......[]

(2)() 導体K位置xにいるときに働くは、()の結果でとしたものになります。
導体Kx方向の加速度b として、運動方程式

これは、角振動数 ......[] 単振動を表します。

(3)() 導体K位置xにいるときの導体K速度v,導体K位置における磁束密度Bとします。 ()の結果でとして、
導体Kに発生する起電力となりますが、ここでは、vBがともに変化するので注意が必要です。
とすると、

これより起電力の最大値は、
......[]

() 起電力の最大値がEに比べて無視できる場合、
両辺を2乗して整理すると、
......[]


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