京大物理'02年前期[1]

次の文を読んで、  に適した式をそれぞれの解答欄に記入せよ。なお、  はすでに  で与えられたものと同じものを表す。

長さ
lの質量の無視できるゴムひもの両端に、2つの小球AおよびBがついている。小球AおよびBの直径は無視できるほど十分小さく、質量はいずれもmとし、重力加速度をgとする。また、このゴムひもは、引き伸ばされた状態ではフックの法則に基づく復元力が働くが、細くてやわらかいために、たるんだ状態では小球の運動を妨げないものとする。
 図
1のように、天井のO点に小球Bを固定し、小球Aを静かにつるしたとき、ゴムひもはだけ伸びた。このゴムひもが自然長からxだけ引き伸ばされたとき、ゴムひもにはの復元力が働く。

(1) 小球Aを小球Bと同じ位置Oまで持ち上げ、小球Bを固定したまま小球Aのみをそのまま自由落下させた。このとき、落下する小球Aが到達する最下端の位置は、天井から イ だけ下方となる。小球A イ の位置から、ゴムひもの復元力 ロ によって上昇運動をはじめる。その上昇運動において、小球Aは天井からlの位置を速さ ハ で通過するが、その瞬間に、天井のO点で固定していた小球Bを静かに解放した。その後、小球ABは天井から ニ の位置で衝突するが、小球Bを解放してから衝突するまでに要する時間は ホ である。この衝突が完全非弾性衝突(反発係数)であり、衝突後は完全にひとつの小球として運動する場合に、衝突してからこの小球が天井から鉛直距離でだけ下にある床に落下するまでに要する時間は ヘ である。

(2) 次に、(1)と同様の手順でO点から小球Aを自由落下させ、 ヘ の位置に小球Aが到達した瞬間に、O点で固定していた小球Bを静かに解放した。この解放した瞬間においては、小球ABはゴムひもの復元力 ロ によって、お互いに引き寄せられている。自由落下している仮想的な観測者からこの2つの小球を見ると、どちらの小球にも重力が働かず、ゴムひもの復元力のみにより運動しているように見える。したがって、小球Bを解放した瞬間からゴムひもが自然長lに戻るまでに要する時間は ト であり、その後、小球ABが衝突するまでにはさらに チ だけ時間がかかる。その衝突する位置は天井から リ の位置となる。

解答 (1)() 題意より自然長より長いときのゴムひものばね定数はと考えられます。
Aが到達する最下端の位置が天井からdだけ下方だとします。最下端を重力による位置エネルギーの基準とすると、はじめの力学的エネルギーは、A位置エネルギー,最下端でのA弾性力による位置エネルギーは、ゴムひもの伸びだから、
力学的エネルギー保存より、

題意より、なので、 ......[]
注.ゴムひもなので自然長よりも短くなるときには単振動しませんが、仮にバネだったとして、は、単振動の上側の振動端です。

() このときのゴムひもの伸びは、
ゴムひも復元力は、
......[]

() やはり重力による位置エネルギーの基準を最下端として、最下端での力学的エネルギー弾性力による位置エネルギー,天井からl位置自然長の位置で、弾性力による位置エネルギー0,求める速さvとして運動エネルギー重力による位置エネルギー
力学的エネルギー保存より、
......[]
() ゴムひもが自然長に戻った後、Aは上昇を続け、Bは落下してくるので、ゴムひもは垂んでしまいます。AB重力を受けた等加速度運動になります。衝突するまでの時間tとして、等加速度運動の公式より、At秒後に天井から位置に来ます。Bt秒後に天井から位置に来ます。衝突するときに両者は一致するので、
・・・@
よって、衝突する
位置と天井との距離は、
......[]

() 衝突するまでに要する時間は、 ......[]
注,衝突する位置が単振動の振動端よりも上に来るのは不思議な気がするかも知れません。トランポリンで跳躍する状況を思い浮かべながら、右図を参照してください。

() 衝突直前のA速度は、
B速度は、
衝突直後に合体した小球の速度uとして、運動量保存より、


衝突位置と床との距離は、
この距離を自由落下して進む時間として、
......[]

(2)() まず、鉛直下向きを正方向として、AB運動方程式を立ててみます。
Bを解放した後、鉛直下向きにx軸をとり、ABの座標をとすると、ゴムひもの長さ,ゴムひもの伸び,ゴムひもの張力の大きさはです。
Aに働くは、鉛直下向きに重力,鉛直上向きにゴムひもの張力
A加速度として、A運動方程式 ・・・@
Bに働くは、鉛直下向きに重力,鉛直下向きにゴムひもの張力
B加速度として、B運動方程式 ・・・A

BからAの運動を見るとき、A相対位置A相対加速度
@−Aより、


これより、BからAを見るとき、振動中心とし、角振動数単振動をすることがわかります。Bが解放されたとき、AB速度0なので、Bが解放されたときが振動端となり、振幅です。・・・()
この単振動の周期Tとすると、
ゴムひもが
自然長に戻る瞬間にとなるので、この瞬間は単振動の振動中心です。
Bを解放してから、ゴムひもが自然長に戻るまでの時間周期になるので、求める時間は、
......[]

() BからAを見るとき、()のような単振動をしているので、BからAを見たときの速度の最大値,即ち、ゴムひもが自然長に戻ったときにBから見たA速さは、単振動の公式を用いて、
ゴムひもが自然長に戻った後は、BAを追いかける形になり、ゴムひもは垂んだままで、BからAを見ると、一定の速さ距離lを進んでくるように見えます。よって、ABが衝突するまでの時間は、
.......[]

() 相対運動を考えているのでAB重心に目をつけるのが有効です。ABが衝突するとき、ABと重心の位置が一致します。
Bを解放して以降、重心は自由落下しているだけです。自由落下している時間は、()()の答を加えた時間です。
重心の
落下距離は、
Bを解放したとき、重心は天井から距離にあったので、ABが衝突する位置と天井との距離は、
......[]


   京大理系物理TOP   物理TOP   CHALLENGE from the VOID   TOPページに戻る

(C)2005,2006,2007,2008,2009
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
CFV21ご入会は、まず、
こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」購入