阪大物理'13[1]

ばねと板からなり質量の無視できる緩衝器が壁に取り付けられている。物体が水平な床の上を緩衝器に向かってすべっていき、緩衝器に接した後の物体の運動を考える。物体が緩衝器に接したとき緩衝器のばねの長さは自然長であった。また、物体が壁に最も近づいたとき、ばねにはさらに縮む余裕が残されていた。物体と床の間には、以下のT,Uでは摩擦がなく、Vでは摩擦がある。ばね定数をk,重力加速度の大きさをgとして、以下の問いに答えよ。

T.図1のように、なめらかな床の上を質量Mの物体Aが速さで緩衝器に向かってすべっていた。物体Aが緩衝器に接した後、ばねは縮んでいく。物体Aが緩衝器に接したときから壁に最も近づくまでの時間を,壁に最も近づいたときにばねが自然長から縮んだ長さをとする。
1 Mkのうちの必要なものを用いて表せ。
2 Mkのうちの必要なものを用いて表せ。
3 を短くするにはどうすればよいか。以下のうちの正しいものの記号を全て記せ。
(a) 速さを大きくする。
(b) ばね定数kを大きくする。
(c) 質量Mを小さくする。

U.図2のように、質量Mの物体Aの上に質量mの物体Bを載せた。物体Aと物体Bの間には摩擦があり、その静止摩擦係数をμとする。2つの物体は一体となり、なめらかな床の上を速さで緩衝器に向かって滑っていた。物体Aが緩衝器に接した後も、2つの物体は一体となって運動し、物体Bは物体Aに対して滑ることはなかった。物体Aが最初に緩衝器に接する位置をx軸の原点とし、物体の初速度の方向をx軸の正の向きとする。一体となって運動している物体の加速度をa,物体Bに働く摩擦力の大きさをFとする。
4 ばねがxだけ縮んでいるときの物体Aと物体Bの運動方程式を書け。
5 ばねがxだけ縮んでいるときの物体Bに働く摩擦力の大きさFを、Mmkgμxのうちの必要なものを用いて表せ。
6 物体Bが物体Aに対して滑らないことから、静止摩擦係数μが満たす条件を、Mmkgのうちの必要なものを用いて表せ。

V.図3のように、摩擦のある床の上を質量Mの物体Aが緩衝器に向かって滑っていた、緩衝器に接したとき、物体Aの速さはであった。物体Aは緩衝器に接した後、壁に近づいていき、その後向きを変え、ばねの長さがちょうど自然長となる位置で静止した。床と物体Aには、動摩擦係数と静止摩擦係数が等しい材質を選んだ。ここで動摩擦係数をとする。
7 物体Aの速さMkgのうちの必要なものを用いて表せ。
8 物体Aが壁に最も近づいた後、ばねによって押し戻される。押し戻されるときの物体Aの速さの最大値をを用いて表せ。

解答 ばね振り子の基本問題ですが、Vは計算に工夫が必要です。

T.問1 衝突前の力学的エネルギーは、物体A運動エネルギーです。緩衝器のばねが最も縮んだときの力学的エネルギーは、弾性エネルギーです。両者の力学的エネルギー保存より、
 ∴  ・・・@
単振動の公式より、単振動の振幅なので@より、
周期に等しく、 ......[]
2 @より、 ......[]
3 問1の結果より、を短くするには、kを大きくするか、質量Mを小さくすればよいので、(b)(c) ......[]

U.問4 物体Aと物体B加速度aとします。物体Aに働くは、右向きの静止摩擦力Fとばねの弾性力(左向き)で、物体A運動方程式は、
......[] ・・・A
物体Bに働くは、左向きの静止摩擦力で、物体B運動方程式は、
......[] ・・・B
5 A+Bより、 ∴
Bに代入して、 ......[]
6 物体Bが物体Aに対して滑らない条件は、 ∴
左辺は、問2と同様にして、のときに最大で、
2の結果より、 ......[]

V.問7 衝突前の力学的エネルギー,ばねが最も縮むとき(このときのばねの縮みとします)までの間に動摩擦力がした仕事は、,ばねが最も縮んだときの力学的エネルギーはばねの弾性エネルギー,この間についてエネルギーの原理より、
 ・・・C
その後向きを変えて自然長に戻るまでに動摩擦力がした仕事自然長に戻ったとき、運動エネルギー弾性エネルギー0で、この間についてエネルギーの原理より、
 ・・・D
より、 ・・・E
C−Dより、
Eより、
......[]
8 押し戻される途中で、ばねの縮みxのときの物体A速さvとして、弾性エネルギー運動エネルギー,最も縮んでいたときからこのときまでに動摩擦力のした仕事エネルギーの原理より、
 ・・・F
F−Dより、
 (2次関数の最大最小を参照)
物体A速さが最大値となるとき、運動エネルギーも最大となりますが、運動エネルギーの最大値は、
7の結果を用いて、 ......[]


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