山口大物理'10[2]

1のようにx軸上の点に正の点電荷が置かれている。これらの点電荷が作る電場について、以下の問いに答えよ。ただし、は正の定数とし、真空の誘電率をとする。
1 x軸上に正の点電荷を置いた。この点電荷に働く力の向きは点電荷を置く位置によって異なる。点電荷qx軸の正の向きに力が働く区間と、x軸の負の向きに力が働く区間、また、働く力が0である点をそれぞれ答えよ。
ただし、点電荷Qのあるx軸上の点は除いて答えよ。
2 x軸上の点に置いた点電荷qに働く力の大きさは、それをx軸上の点に置いた場合に働く力の大きさの何倍であるかを答えよ。
3 z軸上の点における電場の大きさとその方向を答えよ。
4 yz平面内の点における電場の方向がy軸となす角度を答えよ。
5 図2のグラフにz軸上の電場のz成分が描かれている。この図を参考にして、点Aと点B間の電位差と、点Bと点C間の電位差はどちらが大きいか。理由を述べて答えよ。
6 原点O,点A,点B,点Cの電位の高さの順をOABCの記号で高い方から答えよ。
7 yz平面上の等電位線の概略図を描け。

解答 電位電場の定義の理解を問う問題です(電界を参照)。問7を原問題から変更しました。また、問題文ではが与えられているのですが、最終解答には出てこないので、以下では、を用いて書くことにします。

に置かれた
点電荷に置かれた点電荷とします。

1 点電荷qとの間では斥力が働きます。
点電荷qに置くとき、点電荷qから受けるの向きはいずれもx軸負方向です。従って、点電荷qに働くの向きはx軸負方向です。
点電荷qに置くとき、点電荷qから受けるの向きはいずれもx軸正方向です。従って、点電荷qに働くの向きはx軸正方向です。
点電荷qに置くとき、点電荷qは、点電荷からx軸正方向にを受け、点電荷からx軸負方向にを受けます。
点電荷qに置くとき、点電荷から等距離にあり、それぞれから受けるは大きさが同じで向きは逆なので、点電荷qに働く0です。
点電荷qに置くとき、点電荷qには点電荷の方が近いので、点電荷から受けるの方が大きくなり、点電荷qに働くの向きはx軸正方向になります。
点電荷qに置くとき、点電荷qには点電荷の方が近いので、点電荷から受けるの方が大きくなり、点電荷qに働くの向きはx軸負方向になります。
以上より、
点電荷qx軸の正の向きにが働く区間は、 ......[]
x
軸の負の向きにが働く区間は、 ......[]
働く0である点は、 ......[]
追記.位置xに置かれた点電荷qが、点電荷から受けるの大きさは、
 (クーロンの法則を参照)
点電荷から受けるの大きさは、
点電荷qに位置するとき、ともにx軸負方向なので、合力Fは、
点電荷qに位置するとき、x軸正方向、x軸負方向なので、合力Fは、
点電荷qに位置するとき、ともにx軸正方向なので、合力Fは、
ここからも答えられます。

2 との距離なので、点電荷qが、点電荷から受けるの大きさは、
との距離aなので、点電荷から受けるの大きさは、
どちらも向きはx軸正方向で、合力は、
との距離なので、点電荷qが、点電荷から受けるの大きさは
との距離なので、点電荷から受けるの大きさは、
どちらも向きはx軸正方向で、合力は、

......[]

3 より、との距離はです。
に作る電場は、ベクトルの向きに、大きさです(ガウスの法則を参照)
が作る
電場は、ベクトルの向きに、大きさです。
両電場は同じ大きさなので、合成すると、ベクトルの方向を向きます。求める電場は、で、向きはz軸正方向、大きさは、
......[]
注.計算しなくても、右図を描けば求められます。

4 より、との距離です。点電荷に作る電場は、ベクトルの向きに、大きさです。点電荷が作る電場は、ベクトルの向きに、大きさです。両電場は同じ大きさなので、合成すると、ベクトルの方向を向きます。このベクトルとy軸がなす角は、 ......[]
注.y軸正方向を向く単位ベクトルはで、このベクトルととのなす角q の余弦は、
です。

5 正電荷電場の向きに沿って電場の方向に動かすとクーロン力仕事をして電位は下がることに注意します。
3と同様に考えると、z軸上のの部分に位置する点に、が作る電場xz平面に関して対称で、両電場を合成すると、z軸正方向を向きます。従って、グラフに見るように、z軸上の電場z成分です。
ABCD距離はいずれもaです。
正電荷BからAまで動かすとき、静電気力とつり合う外力のする仕事AB間の電位差になります(電位・電圧を参照。なのでAの方が電位が高い)
グラフを見ると、
AB間での電場の方がBC間の電場よりも強いので、外力は、CからBまでの移動よりも、BからAまでの移動の方が、正電荷の移動に大きな仕事をする必要があります。つまり、AB間の電位差の方がCD間の電位差よりも大きいということになります。
AB間の電位差の方がBC間の電位差よりも大きい ......[]
理由:電場はz軸正方向を向いていて、AB間の電場の大きさの方がBC間の電場の大きさよりも大きく、正電荷を移動させるとAB間の方が大きな仕事を必要とするから。 ......[]
追記.z軸上の ()に作る電場は、向きがベクトルの向きで、大きさがに作る電場は、向きがベクトルの向きで、大きさがです。合成電場は、ベクトルの方向(z軸正方向)を向いていて、における電場z成分は、

 ・・・@
より、において極大値をとり、においてのときとなります。のグラフが問題文中の図に描かれています。
無限遠を基準として、に作る
電位は、に作る電位で、両者を重ね合わせて、における電位は、
 (となっています) ・・・A
これより、O ()における電位は、A ()における電位は、B ()における電位は、C ()における電位は、
これより、
(6の答)がわかります。

6 問5に書いたように、z軸上のの部分において、電場z成分は常になので、z座標が大きくなるに従って電位は下がります。つまり、電位の高い順に、
OABC ......[]

7 正電荷x軸上に存在するので、yz平面上での電位の分布はx軸、即ち、yz平面上での原点に関して回転対称になり、いろいろな電位の値に対して等電位線を描くと、原点を中心とする同心円になります。
より、との距離はです。
無限遠を基準として、に作る
電位は、
に作る電位に等しく、両電位を重ね合わせると、における電位vは、
等電位線はである点の軌跡で、分母を払い2乗して整理すると、
等電位線となる円の半径rとして、より、
これは、Aと同じ形です。Aを微分するとになります(において、電位v半径rの減少関数)が、これをさらに微分すると@です。これより、電位vを縦軸、半径rを横軸にとってグラフを描くと、において変曲点をもつような右上図のような曲線になります。
縦軸を等間隔に区切ると、等電位線の間隔は、最初大きく、
半径が大きくなるに従って、一旦小さくなり、再び、大きくなっていくことがわかります。
のとき
(とします)となりますが、等電位線間の電位差がで等間隔になるように等電位線を引くことにすると、のときのときのときのときのときのときのときのとき(右上図で緑色の線で示しました)となり、等電位線の状況を図示すると右下図のようになります。


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