横市大物理'10[3]

なめらかに動くピストンをもつシリンダー内に、nモルの単原子分子理想気体が封入されている。この気体の圧力をp,体積をVとして、右のp-V図に示すように、ABCDA1サイクルとする熱機関をつくる。ABおよびCDの過程は定圧変化、BCおよびDAの過程は断熱変化である。状態ABCDの体積はそれぞれであり、状態ABの圧力は,状態Cと状態Dの圧力はである()。ここで、気体定数をRとする。また、気体が吸収する熱量は正の値、放出する熱量は負の値とする。このとき、以下の設問に答えよ。
(1) 状態ABCDの絶対温度をそれぞれ求めよ。
(2) ABおよびCDの過程において、気体が吸収または放出する熱量およびをそれぞれ求めよ。
(3) 次に、BCおよびDAの過程について考える。
(a) それぞれの過程において、温度は上昇するか下降するかについて、熱力学第一法則を用いて説明せよ。
(b) それぞれの過程において、気体がする仕事およびを求めよ。
(4) さらに、ABCDAの過程について考える。
(a) この1サイクルの間に気体がする仕事の合計を求めよ。
(b) この1サイクルに対する熱効率eを求めよ。
(c) 断熱変化ではpVの間に「」という関係がある(gは定数)。ここで、BCおよびDAの過程に対するgの値は同じである。このとき、として、上記(b)で求めた熱効率exgで表せ。さらに、として、xeの関係の概略をグラフに描け。

解答 断熱変化の基本問題ですが、普通は温度に着目して考えて行くのが、本問では、圧力体積に着目するので、やりにくい部分があるかも知れません。

(1) 状態Aにおける状態方程式
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状態Bにおける状態方程式
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状態Cにおける状態方程式
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状態Dにおける状態方程式
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(2) 単原子分子理想気体の定圧モル比熱です。ABCD定圧変化なので、定圧モル比熱の関係式:を用いて、
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(3) 単原子分子理想気体の定積モル比熱です。
(a) BCの過程では、体積が増大しているので、気体は正の仕事をします。断熱変化なので、気体は熱のやりとりをせず、熱力学第一法則において、となり、 (内部エネルギーを参照)です。より、温度は下降します。
DAの過程では、体積が減少しているので、気体は負の仕事をします。熱力学第一法則において、となり、です。より、温度は上昇します。
(b) 熱力学第一法則より、BCの過程では、
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熱力学第一法則より、DAの過程では、
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(4)(a) 1サイクルでは、温度が最初の温度に戻ってくるので、内部エネルギーの変化はゼロです。断熱変化BCDAの過程においては、のやりとりはないので、1サイクルについて熱力学第一法則より、
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注.定圧変化ABCDの過程での仕事を求め、として求めることもできます。
(b) 熱効率eは、気体がした正味の仕事を気体が吸収したで割ったものです。
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注.で割ると当然1になります。熱効率の分母の気体が吸収した熱には、気体が捨てた熱 ()を含まないように注意してください。
(c) BCの過程において、 ・・・@
DAの過程において、 ・・・A
@,Aより、
これを(b)の結果に代入すると、
@より、,よって、
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を代入すると、
図示すると右図。


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