東北大物理'10年後期[1]

1のように、傾きq の斜面をもつ質量の台が水平面の溝に置かれている。この斜面上の点Pから質量mの小球を長さの糸でつるしたところ、点Aの位置で静止した。座標軸は、図のように、水平面と台の斜面が交わった直線に平行な方向にx軸を、溝に平行な方向にy軸を、xy平面に垂直な方向にz軸をとる。小球に、x軸の正の向きに初速度を与えたときの運動を考える。重力加速度をgとし、小球の大きさ、糸の質量、すべての摩擦および空気抵抗は無視でき、また、糸は伸び縮みしないものとして以下の問いに答えよ。解答は解答用紙の所定の場所に記入せよ。また、結果だけでなく、考え方や計算の過程も記せ。

(1) はじめに、台が溝に固定されている場合を考える。初速度を与えた後、小球は斜面上を円運動し、糸がたるむことはなかった。
(a) 小球が図1の点B ()に達したときの小球の速さを、gq を用いて表せ。
(b) 小球が最上点Cまで到達するために必要なの最小値を、gq を用いて表せ。

(2) 次に、台が溝の中をy方向にのみ、なめらかに動ける場合を考える。初速度を与えた後、小球は斜面上を円運動し、糸がたるむことはなかった。
(a) 小球の速度のy成分を,台の速度のy成分をVとする。Vとの間に成り立つ関係式を記せ。
(b) 初速度を与えてから点Cを通過して再び点Aに戻るまでの小球と点Py座標の時間変化を、それぞれ太い実線と太い破線として表したグラフとして最も適当なものを、図2()()の中から1つ選び、記号で答えよ。

(3) で、台が溝の中をy方向にのみ、なめらかに動ける場合を考える。小球が最上点Cの位置に到達したときに糸を切った。その後、小球は斜面上を運動して図1の点Dを通過した。ただし、点Dと点Az座標は等しいとする。
(a) 小球が点Cの位置に到達したときの台の速度のy成分を、gから必要なものを用いて表せ。
(b) 糸を切った後の台の加速度をaとし、斜面上に固定した座標系から見た点Cから点Aに向かう向きの小球の加速度をbとする。aおよびbの大きさを、gを用いて表せ。台の運動方程式と、斜面上に固定した座標系から見た小球に働く力の斜面に垂直な方向の力のつり合いを考えるとよい。
(c) 小球が点Dに到達したときの台の速度のy成分を、gを用いて表せ。
(d) 小球が点Dに到達したときの小球の速度のy成分およびz成分を、gを用いて表せ。

解答 相対運動と斜面上の不等速円運動の融合問題です。最後の相対運動を考える部分はかなりややこしくなります。小球がどういう運動をしているのか、じっくり考えてください。

(1)(a) A位置エネルギーの基準とします。小球の力学的エネルギーは、点Aでは運動エネルギー,点Bでは運動エネルギー位置エネルギー力学的エネルギー保存より、
......[]
(b) 最上点Cでの小球の速さとすると、運動エネルギー位置エネルギー,点Aと最上点Cとの間の力学的エネルギー保存より、
 ・・・@
糸の張力Tとして、最上点Cにおける小球の運動方程式は、
 ・・・A
小球が最上点に到達する条件は、最上点で、糸がたるまないこと、即ち、張力で、@,Aより、

よっての最小値は、 ......[]

(2)(a) 台と小球から成る系に、y方向に働くはありません。よって、y方向では運動量保存則が成立します。最初、台にも小球にもy方向の速度成分はないので、
......[]
(b) (a)の結果を時間積分すると、台のy座標Y,小球のy座標について、
これより、小球の運動のy方向の振幅は、台の運動のy方向の振幅2倍となり、yが増大するときYは減少します。こうなっているのは、() ......[]

(3)(a) 小球が最上点Cに到達したとき、小球の速度x軸負方向を向いていて、y成分はゼロです。ということは、問2(a)より、このときの台の速度y成分についても、
......[]
(b) 台と小球の間に働いている垂直抗力Nとします。
y方向について、台の運動方程式:
 ・・・B
斜面と垂直な方向での小球に働く力のつり合い
 ・・・C
斜面に沿って下向き方向について、小球の運動方程式
 ・・・D
B−C×より、


なので、

aの大きさ: ......[]
Dより、
なので、

bの大きさ: ......[]
(c) 斜面上で見て、Dに到達したときの小球の速度の斜面に沿う方向の成分を ()とすると、小球の斜面に沿う方向の運動は、加速度bの等加速度運動で、等加速度運動の公式より、
 (に注意)
 ・・・E
斜面上で見たときの小球の
速度y方向成分は、と問(3)(b)の結果を用いて、
水平面上で見たときの小球の速度y方向成分をとして、
 ・・・F (相対運動を参照)
(2)(a)の結果で、として、
 ・・・G
これらより、
Fを用いて、
......[]
(d) 小球が点Dに到達したときの小球の速度y成分は、Gより、
......[]
z成分は、Eと問(3)(b)の結果を用いて、
......[]


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