東北大物理'10[1]

1のように、半径Rの円柱を4分の1にした台(以下、曲面台とよぶ)を水平な床面に置き、その曲面台の上方に左端が固定されたばねをのせた台を水平に配置する(以下、水平台とよぶ)。ばねの右端部には互いに連結された質量の小球Aと質量mの小球Bが取り付けてある。曲面台の最上部Sから水平台上面までの高さhは、水平台を水平のまま上下させることで変えることができる。重力加速度をg,ばね定数をk,曲面台と小球のはねかえり係数を1 (弾性衝突)とする。また、小球ABの大きさ、水平台の厚み、摩擦、空気抵抗の影響は無視でき、小球ABは紙面内でのみ運動し、曲面台は床面に固定されているものとして以下の問いに答えよ。解答は解答用紙の所定の場所に記入せよ。また、結果だけでなく、考え方や計算の過程も記せ。

(1) ばねを自然長からdだけ縮めてから手を離すと単振動を起こした。最初、小球AB間は互いに連結されているが、何周期か振動した後、小球が右方向に運動していて、ばねがちょうど自然長となったとき、小球ABの間の連結を切り離した。
(a) 切り離す前の周期と切り離した後の周期の比を求めよ。
(b) 切り離した直後の小球Bの速度vを、mgkdの中から必要なものを用いて表せ。
(c) 切り離した後の小球Aの振幅を、mgkdの中から必要なものを用いて表せ。

(2) 切り離された小球Bは、水平台上を移動した後、水平台の右端から速度で飛び出した。その後、図1のようにとなる曲面台表面の点Pに衝突し、さらに、はねかえって床面上に落下した。このとき、とし、小球Bは点Pで曲面台の表面に接するなめらかな平面ではねかえるとみなせることとする。
(a) Pに衝突するために必要な速度を、mgRの中から必要なものを用いて表せ。
(b) Pで、はねかえり直後における小球Bの速度のx成分とy成分を、mgRの中から必要なものを用いて表せ。ただし、水平右向きをx軸の正の向き、鉛直下方をy軸の正の向きとする。

(3) のとき、図2のように、小球Bは水平台表面から速度vで曲面台に到達し、さらに曲面台表面上を移動した後、ある点Dで曲面台表面から離れた。このとき、点Dの床面からの高さをHとし、水平台表面と曲面台表面はなめらかにつながっているものとする。
(a) 2のようにaとしたとき、gRmvの中から必要なものを用いて表せ。
(b) の場合、すなわち曲面台の頂点Sで、小球Bがすぐに曲面台から離れる速度の最小値を、gRmを用いて表せ。
(c) Dの高さHと速度vの関係を解答用紙のグラフに実線で描け。ただし、vが問(3)(b)よりも大きいときと小さいときの両方の場合について示せ。また、vが限りなく0に近いときとのときのHの値をグラフの縦軸上に記せ。

解答 力学全般を網羅している標準問題です。難問というわけではありませんが、力学全般について理解していないと答えられません。

(1)(a) 単振動の公式より、切り離す前の周期は、質量AB合わせてだから、
切り離した後の周期は、質量Aのみのだから、
......[]
切り離す前の単振動の角振動数は、
切り離した後の単振動の
角振動数は、

(b) 単振動の公式より、切り離す前の振幅dで、切り離す瞬間にばねが自然長2つの小球の速さ最大だから、速度vは、右向きを正として、
......[]

(c) 切り離した直後のA速度vです。切り離した後、Aだけで単振動するときの角振動数だから、単振動の公式:より、切り離した後のA振幅は、(a)(b)より、
......[]

(2)(a) 水平台右端よりPまで、Bは、水平方向に,鉛直方向にだけ移動します。また、この間に要する時間とすると、水平方向の移動について、
 ∴
鉛直方向の移動について、等加速度運動の公式より、
......[]

(b) Pに衝突する直前のB速さとします。重力による位置エネルギーの基準を点Pにとると、水平台から飛び出す瞬間に、B運動エネルギー位置エネルギーを持っています。Pに衝突する直前にB運動エネルギーを持っています。力学的エネルギー保存より、
(2)(a)の結果を用いて、

右図の衝突直前直後の速度のベクトル図において、弾性衝突B速さは変化せず、衝突面の法線が水平面となす角がであることから、直角三角形PQRと直角三角形PSTは合同です。従って、はねかえり直後の速度の鉛直成分(y成分)は、衝突直前の速度の水平成分に等しく、はねかえり直後の速度の水平成分(x成分)は、衝突直前の速度の鉛直成分に等しくなります。
はねかえり直後における小球
B速度は、問(2)(a)の結果を用いて、
x成分: ......[]
y
成分: ......[]

(3)(a) Dにおける速さとします。Dにおいて、Bに働く重力のみで、円運動の中心方向に向かう成分はです。運動方程式は、

 ・・・@
重力による位置エネルギーの基準を点Dにとると、水平台から飛び出す瞬間に、B運動エネルギー位置エネルギーを持っています。DにおいてBは、運動エネルギーを持っています。力学的エネルギー保存より、
@より、

......[]

(b) となるのは、のときで、

小球Bがすぐに曲面台から離れる速度の最小値は、 ......[]
(c) (3)(a)の結果より、のとき、

のとき、 (のときも)
のとき、
D高さH速度vの関係を図示すると右図実線。


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