長崎大物理'10[3]

図のように円筒容器が水平に置かれている。この円筒容器の壁は断熱されており、中は断熱性の仕切り板(断面積S)と円筒容器の外部との熱の出入りが自由なピストン(断面積S)によって2つの部分に区切られている。これらの仕切り板とピストンは左右になめらかに動く。左側には単原子分子の理想気体Aが封入されており、熱が加えられるようにヒーターが取り付けられている。また右側には単原子分子の理想気体Bが封入されている。初期状態では、気体A、気体Bの圧力は,温度はであり、どちらの気体も円筒容器の外部の圧力および温度と等しかった。また、円筒容器の左側から仕切り板までの距離と仕切り板からピストンまでの距離はともにであった。ただし、仕切り板の厚さは無視できるものとする。
過程a
初期状態において、ヒーターで気体Aに熱を加えると、仕切り板とピストンはゆっくり右側に移動した。そして、しばらくして熱を加えるのをやめると、仕切り板とピストンは停止した。このときの気体Aの温度はであった。
() 気体Aの内部エネルギーの変化量Sを用いて表せ。
() ピストンが停止したときの気体Aの体積Sを用いて表せ。
() 気体Aに加えられた熱量QSを用いて表せ。
過程b
初期状態において、ピストンを動かないように固定してヒーターで気体Aに熱を加えると仕切り板は停止した。このときの気体Aの温度はであった。
() 仕切り板が停止したときの気体Aの圧力を用いて表し、また、仕切り板が移動した距離を用いて表せ。
() 気体Bが周囲から加えられた仕事をWとして、気体Aと気体Bが吸収または放出した熱量をそれぞれSWのうち必要なものを用いて表せ。ただし、吸収の場合を正、放出の場合を負とする。
() 過程bにおける気体Bの圧力と体積の関係についてグラフを描き、さらに気体Bが周囲から加えられた仕事Wに相当する面積を斜線によって示せ。

解答 本問のような気体の基本問題では、状態方程式熱力学第一法則を素直に適用することを考えましょう。また、ピストンや仕切り板に対して働く力のつり合いを見落とさないようにしてください。

初期状態では、気体
A,気体Bは、同一状態で同一体積のため、ボイル・シャルルの法則によりモル数は等しくnだったとします。ピストンに働く力のつり合いより、気体Bの圧力は外部の圧力に等しく、外部の圧力です。また、気体定数をRとします。

過程a
初期状態の気体A、気体B体積で、状態方程式は、
 ・・・@
加熱中、また、加熱後にピストン、仕切り板が停止したときにも、ピストン、仕切り板に働くのつり合いが成立するので、気体A,気体B圧力はともにのまま一定で、過程aにおいて、気体A、気体B定圧変化をします。
こうした問題では、仕切り板、ピストンを動かし始める
、停止させるは無視できるほど小さく、また、仕切り板、ピストンは、無視できるほど小さな速さで等速度運動(従って、のつり合いがつねに成立している)と考えます。こうした過程は、つねに熱平衡が保たれていて準静的過程と言います。
加熱後、ピストン、仕切り板が停止したときの気体
A体積として、状態方程式は、
 ・・・A
() 気体A温度変化なので、気体A内部エネルギー変化量は、
@より、,よって、
......[]
() A÷@より、ピストンが停止したときの気体A体積は、
......[]
() 気体A定圧変化をしたので、定圧モル比熱の式より、気体Aに加えられた熱量Qは、
......[]

過程b
加熱後、ピストン、仕切り板が停止したとき、仕切り板が右に移動したとして、気体A体積,気体B体積です。仕切り板に働くのつり合いより、気体A圧力とすると、気体B圧力です。
このときの気体
A、気体B状態方程式は、それぞれ、
 ・・・B
 ・・・C
() B+Cより、を消去して、
 ・・・D
D÷@より、
......[]
B÷Cより、

......[]
() ピストンが固定されているので、気体BはピストンBに対して仕事をしません。ということは、気体Bがされた仕事W (つまり、気体Bがした仕事です)は、すべて仕切り板の移動により、気体Aから受けた仕事です。過程bにおいて、気体B等温変化をしていて内部エネルギーの変化はゼロです。よって、熱力学第一法則より、気体Bが吸収した熱量は、
......[]
気体Aがした仕事はWで、気体A内部エネルギーの変化は、@を用いて、
熱力学第一法則より、気体Aが吸収した熱量は、
......[]
() 過程bの途中での気体B圧力P体積Vとすると、気体B等温変化をするので、状態方程式は、
従って、過程bにおける圧力P体積Vの関係をグラフに描くと右図実線のような直角双曲線の一部となり、初期状態においては、であり、過程bの最後では、であって、周囲から加えられた仕事Wに相当する面積は右図斜線部となります(気体がした仕事を参照)


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