名大物理'10[1]

1のように、水平な床の上に質量の水平な台を置き、大きさが無視できる2つの小物体ABの台の上面での運動を考える。紙面に垂直な方向の運動は考えない。小物体ABの質量はともにmとする。台の上面のうちPQ間はなめらかであり、この区間では台と小物体ABとの間の摩擦は無視できる。QR間には摩擦があり、小物体ABと台の上面QR間との間の静止摩擦係数はm,動摩擦係数はである。また、小物体Aと小物体Bの衝突における反発係数(はねかえり係数)eを満たす。重力加速度をgとして、以下の問いに答えよ。
はじめに、台を床に固定具で固定し、小物体
Bを台上から取り除く。台上での小物体Aの運動を考える。図2のように、小物体Aを台の上面のP点から初速度で右向きに滑らせたところ、小物体AQ点から距離だけ離れた台上の点で静止した。

設問(1):運動をはじめてから静止するまでの小物体Aの運動を考える。(a)小物体Aの速度の時間変化、(b)運動エネルギーの時間変化、(c)P点から小物体Aまでの距離の時間変化を示すグラフとして適切なものを次のア〜クからそれぞれ一つずつ選べ。ただし、グラフの横軸は小物体Aが運動を開始してからの時間を表し、縦軸は速度、運動エネルギー、または距離を表すものとする。

設問(2):距離を、mmegの中から適切なものを用いて表せ。

次に、台を床に固定具で固定したまま、小物体Bを台上のQ点に静かに置く。図3のように台の上面のP点から、初速度で小物体Aを右向きに滑らせると、小物体Aと小物体Bは衝突を起こし、衝突後、Q点からそれぞれ右に距離だけ離れた台上の点に静止した。

設問(3):衝突直後の小物体Aと小物体Bの運動エネルギーを、mmegの中から適切なものを用いてそれぞれ表せ。

設問(4):距離と距離との差を、mmegの中から適切なものを用いて表せ。

次に、台を床に固定する固定具を取り外し、台が床の上を自由に滑ることができるようにする。床と台との間の摩擦は無視できる。静止した台の上のQ点に小物体Bを静かに置く。図4のように、台上のP点から初速度で小物体Aを右向きに滑らせると、小物体Aと小物体Bは衝突した。衝突直後の台の速度は0であった。小物体Aは、小物体Bとの衝突後、QR間の点で台との間の相対速度が0となり、以降は台と一体となって運動した。さらにその後、小物体Bは、QR間の点で台との間の相対速度が0となり、以降は台と一体となって右向きに速度で運動した。

設問(5):速度を、mmegの中から適切なものを用いて表せ。

設問(6):小物体Aと台との間の相対速度が0となってから、小物体Bと台との間の相対速度が0となるまでの間の台の運動を考える。小物体Aと小物体Bが台に及ぼす力をすべて解答欄の図中に矢印で示し、それらの力の大きさを解答欄の図中に数式で記せ。解答に際しては、力の向きに留意して矢印を図示せよ。数式は、mmegの中から適切なものを用いて表せ。

解答 衝突に関する標準問題です。設問(6)はいわゆる「親亀子亀」の問題です。

(1) 小物体Aは、PQ間においては、速さで等速度運動をします。運動を始めたとき時刻とし、Qを通過する時刻として、時刻t ()におけるA速度は、
Qを過ぎると、動摩擦力を受けるので、加速度aとして、運動方程式は、

よって、小物体AQを過ぎると等加速度運動をするようになります。静止する時刻として、時刻t ()におけるA速度は、
よって、時刻tにおけるは、
(a)小物体A速度の時間変化を表すグラフは、ア ......[]
時刻tにおける小物体A運動エネルギーは、
(b)運動エネルギーの時間変化を表すグラフは、エ ......[]
時刻tにおける、P点から小物体Aまでの距離は、
(c)P点から小物体Aまでの距離の時間変化を示すグラフは、カ ......[]
注意.上記では、計算によって示していますが、(a)では、途中まで等速度運動、そこから加速度一定で直線的に速度が減少してやがて速度0になるグラフ、(b)では、途中まで運動エネルギー一定で、それ以降は、時間t2次関数となり、下に凸なグラフ、(c)では、途中まで傾き正の直線、それ以降は上に凸な放物線、という感覚で選べばよいでしょう。

(2) 小物体AQを通過するときにもっていた運動エネルギー,これが、動摩擦力のする仕事を受けて0になるので、エネルギーの原理より、
......[]

(3) 衝突直後の小物体A,小物体B速度とします。衝突前の運動量は、小物体A,衝突直後の運動量は、小物体A,小物体Bです。衝突前後の運動量保存より、
 ∴  ・・・@
反発係数の式
@に代入して、

衝突直後の小物体
A運動エネルギーは、
......[]
衝突直後の小物体B運動エネルギーは、
......[]

(4) (2)と同様に、小物体Aに関するエネルギーの原理より、
 ・・・A
小物体Bに関するエネルギーの原理より、
 ・・・B
B−Aより、
......[]

(5) 系に水平方向に働く外力はないので、小物体Aが運動を始めたときと、小物体ABが台と一体となって運動したときとで、運動量が保存されます。
......[]

(6) 小物体Aと台との間の摩擦力静止摩擦力で、その大きさをfとします。小物体Aが台から受ける摩擦力の向きは水平方向右向き、台が小物体Aから受ける摩擦力の向きは水平方向左向きです。小物体A加速度aとしてA運動方程式は、
 ・・・C
小物体Bと台との間の摩擦力動摩擦力で、その大きさはです。小物体Bが台から受ける摩擦力の向きは水平方向左向き、台が小物体Bから受ける摩擦力の向きは水平方向右向きです。小物体B加速度bとしてB運動方程式は、
 ・・・D
小物体Aと台は一体で運動しているので台の加速度a,台の運動方程式は、
 ・・・E
C,Eより、
 (小物体Aと台の加速度,小物体B加速度)
小物体Aと小物体Bが台に及ぼすは、摩擦力と鉛直下向きの重力を含めて右図。


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