横浜国大物理'09[2]

図に示すように、起電力の電池E,抵抗値の抵抗R,電気容量のコンデンサー,電気容量のコンデンサー,自己インダクタンスのコイルL,スイッチにより構成された回路がある。初期状態ではスイッチは開いていて、コンデンサーには電荷(電気量)がたまっていないものとする。また、電池とコイルの内部抵抗は無視できるものとする。以下の文章の空欄を埋めよ。

(1) スイッチを閉じた直後に抵抗Rを流れる電流の大きさは ア [A]となる。また、十分に時間がたった後では、コンデンサーに蓄えられる電荷は イ [C],コンデンサーに蓄えられるエネルギーは ウ [J]となる。
(2) 十分に時間がたった後でスイッチを開放し、スイッチを閉じたところ、コイルの両端の電圧、各コンデンサーの両端の電圧、およびそれらを流れる電流は周期的に振動した。この振動の周波数は エ [Hz]である。
(3) スイッチを閉じた直後は、コンデンサーの極板間の電圧の大きさは,コンデンサーの極板間の電圧はであるから、コイルLの両端の電圧の大きさは オ [V] オ [V]の間を周期的に振動する。スイッチを閉じてから、コイルLの両端の電圧が最初にになるまでの時間は カ [s]となる。
(4) コイルLの両端の電圧がになった瞬間を考える。コンデンサーに蓄えられている電荷は キ [C],コンデンサーに蓄えられている電荷は ク [C]となり、コンデンサーに蓄えられているエネルギーは ケ [J],コンデンサーに蓄えられているエネルギーは コ [J]である。回路に蓄えられる電気エネルギーの総和は一定に保たれるので、コイルLに蓄えられているエネルギーは サ [J]となり、コイルLを流れる電流の大きさは シ [A]である。
(5) コンデンサーに蓄えられる電荷は周期的な時間変化をするが、コンデンサーに蓄えられる電荷がになった瞬間に、コンデンサーに蓄えられている電荷は ス [C]である。このとき、コイルLの両端の電圧の大きさは セ [V],コイルLを流れる電流の大きさは ソ [A]である。

解答 コンデンサーコイルに関する回路の問題ですが、単なる回路の問題とは言えない、慎重に考えるべき点のある問題です。
(2)(3)が見慣れない設定で悩みますが、問題文の()の書き方がヒントになっています。
(2)では、最初にの間の部分の電荷0でないので、は直列ではなく、L両端、即ち、両端の電圧Vが蓄える電荷Qとして、を直列として考えた合成容量 ()との間に、という関係は成立しません。
どういうことかと言うと、右図で、に最初
電荷が蓄えられていて、両端の電圧Vとしたときの電荷Qとすると、側の極板の電荷は、電荷保存より、

両端の電圧両端の電圧の和がVになるので、

直列の合成容量を用いて、
つまり、が直列であるときには、には等量の電荷が蓄えられるはずなのですが、の間に孤立している電荷があると、電圧だけずれるので、直列の公式通りにならなくなります。
ですが、は定数なので、
振動回路においては、の間に孤立している電荷は振動中心と振幅を変化させても、周波数には影響を与えません。従って、(3)の振動回路では、を直列として合成容量を考え、周波数を求めることができます。

(1)() を閉じた直後、は導通したのと同じで、電流の大きさは、オームの法則より、
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() 十分時間が経過すると、電流は流れなくなりR両端の電圧で、に蓄えられる電荷は、
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() に蓄えられるエネルギーは、 (コンデンサーの過渡現象を参照)
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(2)() 直列の合成容量として、

振動の周波数は、

(3)() スイッチを閉じた直後、問題文より、コイルLの両端の電圧の大きさは (問題文の図のL上側が高電位)で、コイルL両端の電圧は、の間で振動します。
E ......[]
() スイッチを閉じてから、コイルLの両端の電圧が最初にになるまでの時間は、単振動の周期に等しく、
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(4)() L両端の電圧になった瞬間に、に蓄えられている電荷として、電荷保存より、の上側の極板には、電荷が蓄えられています。このとき、両端の電圧両端の電圧が等しくなるので、

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() に蓄えられている電荷は、
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() に蓄えられているエネルギーは、
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() に蓄えられているエネルギーは、
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() エネルギー保存より、Lに蓄えられているエネルギーは、
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() このときの電流の大きさをとして、Lに蓄えられているエネルギーは、
 (自己誘導を参照)

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注.この電流の大きさが、電流の単振動の振幅であり、電流の最大値になります。また、この問題では、電流の最大値Iについて、 (最初の静電エネルギー)とならないので注意してください。

(5)() に蓄えられる電荷になった瞬間に、に蓄えられている電荷は、電荷保存よりです。
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() 両端の電圧で、L両端の電圧の大きさは、両端の電圧の大きさに等しく、
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() に蓄えられているエネルギーに蓄えられているエネルギーで、コイルに流れる電流として、エネルギー保存より、

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