横浜国大物理'09[1]

図のように、水平からの角度q のなめらかで摩擦のない斜面上にばね定数のばねがあり、その一端が斜面上の壁に固定されている。ばねの他端に質量の板が取り付けられ、つりあいの状態にある。ここで、この板のつりあいの位置を基準とした高さの斜面上の位置に質量の小球を置いて静かに手を離すと、小球は運動を始め、板に衝突した。小球と板の大きさ、および、ばねの質量は無視できるものとする。また、重力加速度をとする。以下の文章の空欄を埋めよ。

手を離してから小球が板に衝突するまでの時間は、
(1) [s]であり、衝突直前の小球の速さは (2) [m/s]である。
小球と板は完全非弾性衝突をし、衝突後一体となって運動した。ただし、衝突中の外力による力積は無視できるものとする。衝突直後の小球と板の速さは
(3) [m/s]である。また、衝突によって失われた小球と板の力学的エネルギーは (4) [J]となる。
一体となった小球と板は、斜面上の壁の手前のある位置で折り返す単振動をした。この単振動の中心は、ばねが自然長から
(5) [m]だけ縮んだ位置であり、周期は (6) [s]である。小球が板に衝突した直後から、後の小球と板の位置は、ばねが自然長から (7) [m]だけ縮んだときの位置となる。
以下では、小球と板の最高点がばねの自然長での位置と一致するような単振動をした場合を考える
(これ以降は記号hを使用せずに解答すること)。このとき、小球の初期の高さh (8) [m]と表せる。また、単振動中の小球と板の最大の速さは (9) [m/s]である。小球が板に衝突した直後から小球と板が最初に最高点に達するまでに、ばねの弾性力が小球と板にした仕事は (10) [J],重力が小球と板にした仕事は (11) [J]である。

解答 基礎事項の正確な理解が要求される、レベルの高い力学の総合問題です。
以下の解答で、
(9)では、弾性エネルギー重力の位置エネルギーを考えていますが、(11)では、弾性エネルギーのみで考えていることに注意してください。同じという形であっても、xは、前者ではつり合いの位置からの変位を、後者では自然長の位置からの変位を、表している、という両者の違いをしっかり理解してください。

(1) 小球に働く重力の斜面に沿う方向の成分はです。小球の斜面に沿う方向の加速度として、小球の運動方程式

求める時間として、小球は斜面に沿って時間の間に距離進みます。等加速度運動の公式より、

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(2) 求める小球の速さとして、
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(3) 衝突直前に小球は運動量をもっています。衝突直後、一体となった小球と板(質量は合わせて)速さとすると運動量です。衝突前後の運動量保存より、

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(4) 衝突直前に小球は運動エネルギーをもっています。衝突直後、一体となった小球と板は運動エネルギーをもっています。衝突によって失われた力学的エネルギーは、
 ・・・@
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(5) 小球+板が単振動している間、小球+板の位置(自然長の位置からの縮み)として、小球+板が受けるは、重力の斜面に沿う方向の成分(斜面に沿って下向き)とばねの弾性力(斜面に沿って上向き)です。小球+板の加速度として、小球+板の運動方程式
これは、小球+板が、角振動数振動中心の単振動をすることを意味します。
......[]
以後、とします。

(6) 単振動の周期は、
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(7) 小球が板に衝突してから半周期後の小球+板の位置は、振動中心に関して、衝突した位置と対称な位置(正弦波で言えば、位相pずれることに相当します)です。
衝突した位置は、板だけのときのばねの縮みとして、力のつり合いより、

振動中心は、自然長の位置よりだけ縮んだ位置なので、後の位置は、
 (右図参照)
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(8) 小球+板の最高点(振動端)自然長の位置に一致する、ということは、単振動の振幅だということです。
このときの力学的エネルギーは、ばねの弾性エネルギー重力の位置エネルギー運動エネルギー0です。
小球と板の衝突直後の
力学的エネルギーは、@より運動エネルギー弾性エネルギー重力の位置エネルギー
最高点にいるときと、衝突直後との力学的エネルギー保存より、

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注.ばねの弾性エネルギーx自然長の位置からの変位ですが、弾性エネルギー重力の位置エネルギーxつり合いの位置からの変位であることに注意してください。

(9) 小球+板の最大の速さは、単振動の公式より、
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(10) ばねの弾性力が小球と板にした仕事は、衝突直後の弾性エネルギー (自然長の位置からの変位),最高点での弾性エネルギー0より、
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注.弾性エネルギーは、ばねの弾性力がした仕事の符号を変えたものであることに注意してください。同様に(11)でも、重力の位置エネルギーは、重力のした仕事の符号を変えたものです(位置エネルギーを参照)

(11) 重力が小球と板にした仕事は、衝突直後のばねの縮み,最高点でのばねの縮み0であって、鉛直方向の高さの差がであることから、重力の位置エネルギーの増加分にマイナスをつけて、
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.(10)(11)
()
は、弾性エネルギー重力の位置エネルギーにマイナスをつけたものになっています。


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