東京医科歯科大物理'09[1]

地表に対して上下(鉛直方向)に自由に動くことができる実験室があり、この中で実験をする。実験室の運動は地表に置かれた座標系で考え、おもり(大きさは無視できる)の実験については実験室に固定された座標系で考えるものとする。重力加速度の大きさはgとする。また、実験室の加速度aは鉛直上向きを正として表し、の範囲にあるものとする。
以下の各問いに答えよ。
実験室の天井に、バネ定数が
kで自然長がである軽いバネが固定してある。実験室が静止している状態で、バネの他端に質量mのおもりをつけたところ、バネはだけ伸びて静止した(1)

1 バネの伸びを求めよ。

つり合いの位置からバネをdだけのばし、そっと手を離すとバネは上下方向に単振動を始めた。

2 このときのバネの振動の周期を求めよ。
3 おもりの最大の速さとそのときのバネの長さLを求めよ。
4 振動の途中、バネの長さが最小になったときに、実験室が一定の加速度aで動き始めた。実験室が動きだした後のバネの振動の振幅Aと周期を求めよ。ただし、一定の加速度aに達するまでの時間とその間のおもりの変位は無視できるものとする。

つぎに、実験室が一定の加速度aで動いている状態で、図2のように固定点Pを通る鉛直線とバネのなす角がq となるようにおもりが水平面内で回転させると、バネの伸びはとなった。回転中にバネは途中で曲がったりせず、伸びは変わらないものとする。

5 このとき、,および回転運動の周期を求めよ。

同じく実験室が一定の加速度aで動いている状態で、別の実験を行った。長さrの伸び縮みしない軽い糸の一端に質量mのおもりを付け、他端を実験室の側壁に固定した。おもりは側壁にそって鉛直平面内を自由に回転できるが、おもりと側壁の間に摩擦は働かないものとする。図3のように固定点を原点Oに、水平方向にx軸、鉛直方向にy軸をとり、おもりは反時計回りに点A,点B,点C,点Dの順に各点を通るものとする。ただし、回転角fは図3のように点Bから反時計まわりにとり、 ()とする。

6 点Aの位置でおもりを静かに放した。最下点Bでの糸の張力の大きさSを求めよ。
7 おもりが点Aから動きだし、ABCD→と順に通って一回転するためには、点Aで円(点線)の接線方向(右下向き)にどのくらいの速さでおもりを放たなければならないか。その最小の速さを求めよ。
8 問7で求めたで点Aからおもりを放つとき、糸が切れずにおもりが回転運動をするための実験室の加速度aの範囲を求めよ。ただし、この糸は強度に限界があり静止した実験室内で、質量が以上のおもりをつけて鉛直に垂らしたときに切れるものとする。
9 問8で求めた条件(実験室の加速度aが糸が切れずに回転運動する範囲内にあり、で点Aからおもりを放つ)およびでおもりが回転運動しているとき、おもりの運動エネルギーKを回転角fの関数として、その概形をからの範囲で図示せよ。

解答 問4までは単振動の基礎問題、問5はバネ付き円錐振り子の問題です。問6以降の不等速円運動で、重力による位置エネルギーを考えるときは、慣性力があるので、重力加速度gではなく、見かけの重力加速度を使って考えることに注意してください。問9という条件は結果に影響しません。どこでおもりを放しても、最上点(D)で糸の張力0になるような初速度を与えれば、おもりの運動エネルギーf依存性は同じです。

1 おもりに働く力のつり合いより、
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2 加速度として、おもりの運動方程式
これは、角振動数単振動を表します。
周期は、
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3 最初につり合いの位置(振動中心)からdだけバネを伸ばして初速度0で放したので、放した位置が振動端となり、振幅dです。
単振動の公式を用いて、
おもりの最大の
速さは、 ......[]
4 バネの長さが最小のとき、バネは振動中心(つり合いの位置)よりdだけ縮んでいるので、このときのバネの伸びです。
実験室が加速度aで動きだし、重力加速度gが見かけの重力加速度に変わっても、バネ定数kとおもりの質量mには変化はなく、単振動の周期も変化しません。
......[]
実験室が加速度aで動きだすと、おもりには慣性力が働きます。このときのバネの伸びとして、おもりに働く力のつり合いより、

このときの単振動の振幅Aは、振動端におけるバネの伸びと振動中心におけるバネの伸びとの差の絶対値に等しく、
......[]
5 鉛直方向でのおもりに働く力のつり合いより、

......[]
おもりは水平面内で半径で円周を描いて等速円運動します。向心力は、おもりに働くバネの弾性力の水平方向成分で、等速円運動の角速度wとして、おもりの向心方向の運動方程式は、
回転運動の周期は、
......[]
6 最下点(B)における運動方程式は、糸の張力S,おもりの速さとして、
 ・・・@
最下点を重力位置エネルギーの基準として、A点における力学的エネルギーは、位置エネルギーのみで、最下点における力学的エネルギーは、運動エネルギーのみです。力学的エネルギー保存より、
 ・・・A
@,Aよりを消去して、
......[]
7 おもりが一回転するためには、最上点(D)で、糸の張力である必要があります。
おもりの速さとして、最上点における運動方程式は、
 ・・・B
最上点における力学的エネルギーは、運動エネルギー位置エネルギーです。ここでは、A点で放すときに初速度を与えるので運動エネルギーがあります。
A点と最上点との力学的エネルギー保存より、
 ・・・C
B,Cよりを消去して、

より、
......[]
8 問7より
よって、A点における力学的エネルギーは、

A点と回転角fの時点(おもりの速さvとします)とにおける力学的エネルギー保存より、

 ・・・D
回転角fの時点での運動方程式
 ・・・E
D,Eよりvを消去すると、

においては、のときにSは最大値をとります。糸が切れない条件は、

と合わせて、 ......[]
9 Dより、おもりの運動エネルギーKは、
グラフの概形は右図。


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