東北大物理'09年後期[2]

1のように質量m,正の電気量qをもった点電荷が、電気を通さない長さRの糸で原点Oにつなげられ、xy平面内を円運動している。糸は伸び縮みしないものとし、点電荷にかかる重力の影響は無視できるものとする。以下の問いに答えよ。解答は解答用紙の所定の場所に記入せよ。また、結果だけでなく、考え方や計算の過程も記せ。
(1) はじめに、点電荷がx軸上の点を速さで通過した瞬間に、図2のように大きさEの一様な電場(電界)x軸の正の方向にかけた。
(a) の電位を0として、点の電位を、EqRの中から必要なものを用いて表せ。
(b) 点電荷は、糸がたるむことなく運動を続けた。点電荷が点を通過したときの速さをvとして、点電荷が点にあるときと点にあるときの間のエネルギー保存の式を、EmqRvの中から必要なものを用いて表せ。
(c) 点電荷が点にあるときの糸の張力Fを、EmqRvの中から必要なものを用いて表せ。
(d) 点電荷が点にあるときに糸がたるまないためのEの条件を、mqRの中から必要なものを用いて表せ。
(2) こんどは、図3のように、電場の代わりに、紙面に垂直で磁束密度の一様な磁場(磁界)を、紙面の表から裏へ向かう方向にかけた。糸がたるむことなく点電荷が円運動を続けるためのの条件を、mqRの中から必要なものを用いて表せ。
(3) 次に、図4に示すように、磁場の大きさを時刻から時刻tの関数として変化させた。磁場を変化させている間も、糸がたるむことなく点電荷は原点Oの周りを円軌道を描いて回転し続けた。
(a) 点電荷の円軌道を貫く磁束の大きさが時間変化すると、電磁誘導によって円軌道に沿った誘導起電力が生じる。これは、同じ経路の導線に生じる誘導起電力と同じと考えてよい。この誘導起電力を、点電荷が円軌道に沿って1周する間に得る電位差と考えると、円軌道上で受ける誘導電場の強さを求めることができる。時刻からの間に円軌道に沿って生じる誘導電場を、mqRTの中から必要なものを用いて表せ。
(b) 3(a)で考えた電場により点電荷の速さが変化する。時刻からの間の速さvを時刻tの関数として解答用紙のグラフに図示せよ。時刻におけるvの値も、mqRTの中から必要なものを用いて縦軸上に表せ。
(c) 点電荷が時刻に点を通過し、その瞬間に糸から切り離されたとする。その後の点電荷の軌道として適切なものを図5()()の中から1つ選び記号で答えよ。ただし、図5中の点線は糸から切り離される前の点電荷の軌道を示す。

解答 電場磁場それぞれの中で電荷がどういう円運動をするか、という問題です。糸がたるまない条件は、「糸の張力0」です。問(3)Tに説明がないのがやや不親切な気がします。なお、不等速円運動を参照してください。

(1)(a) 2電場の方向に距離離れているので、電位差は、
 (電位・電圧を参照)
電位は点の方が低く、点電位は、
......[]
(b) 位置エネルギーの基準として、点位置エネルギーは、
 (電位・電圧を参照)
における運動エネルギー,点における運動エネルギー
2点でのエネルギー保存の式は、
......[] ・・・@
(c) において、糸の張力F正電荷が受けるクーロン力(電界を参照)合力向心力となるので、この点における正電荷の法線方向の運動方程式は、
 ・・・A
......[]
(d) @より、
Aに代入して、
糸がたるまない条件は、より、
......[]

(2) 正電荷は円運動の接線方向にを受けないので、速さのまま等速円運動を続けます。正電荷磁場より受けるの大きさはで、円の中心を向く方向に働きます。糸の張力Fとして、円運動の運動方程式は、
よって、正電荷が円運動を続けるためには、より、
......[]

(3)(a) 磁束密度のとき、円軌道を貫く磁束は、

においては、正電荷が円軌道を一周する間の誘導起電力の大きさは、時間Tの間に磁束密度からまで変化するので、 (4の直線の傾き)より、
 (電磁誘導の法則を参照)
長さの円軌道上では電場は一様で、誘導電場(の大きさ)は、より、
......[]
においては、レンツの法則より、紙面を表から裏に向かう磁場が増大するので、誘導電場磁場を減少させようとする方向、つまり、裏から表に向かう磁場を作ろうとする方向で、図3の円で反時計回りの方向です。
(b) (3)(a)の結果に見るように、において、円の接線方向反時計回りに一様な電場ができていて、正電荷はこの方向に一定のを受けるので、正電荷の円の接線方向の速さは一定の割合で増加します(一種の等加速度運動のようになります)正電荷加速度aとして、接線方向の運動方程式は、

時刻における速さは、
においては、磁場の変化がなく誘導起電力0正電荷に接線方向にはが働かず、正電荷の接線方向の速さのままです。
においては、
磁場の変化率はでの変化率のです。正電荷の速さの変化率もで、今度は速さは一定の割合で減少してに戻ります。
においては、
磁場は変化せず、正電荷速さのままです。
以上より、
正電荷の速さvは右図実線のように変化します。
(c) (3)(a)において糸がたるまずに(張力)円運動していた、ということは、時刻において速さ正電荷が点から円運動を始めた時点では糸に正の張力が働いていたということです。点に戻ったときに速さに戻っているので、においては、正電荷に正の張力が働いています。これがなくなると、正電荷に働く向心力が弱くなり、円運動の半径が増大し、円軌道の中心も移動します。ですが、においても、正電荷は円運動を続けます。よって、() ......[]


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