九大物理'09[3]

文中の空欄 ア から ソ にあてはまる数式を答えよ。ただし、角度および角速度の単位は、それぞれradおよびrad/sとし、円周率はpとする。必要があれば、三角関数の公式

を用いてよい。また、q の大きさが十分小さいときには、とせよ。
1 図4のように、xy平面上で時計回りに角速度の大きさがw で等速円運動をする物体を考える。xy座標の原点を円の中心とし、時刻tでの物体の位置と表す。ただし、円の半径をrとし、時刻0ではとする。同様に、速度,加速度と表す。答えは、rwtの中から必要な記号を用いて表せ。

時刻tでの物体の位置については、 ア  イ である。時刻0からまでの位置の変化は、が十分小さいときにはに等しいので、 ウ  エ である。のなす角はであるから、 オ  カ となる。同様に、速度の変化に等しいので、 キ  ク である。のなす角はであるから、 ケ  コ となる。
2 図5のように、質量mの多数の物体を、質量が無視できるバネ定数kの同じバネでつなぎ、なめらかな水平面上の直線(x)に沿って静止させる。このとき、各物体の間隔はdであり、左端からn番目の物体の位置とする。次に、それぞれの物体を振幅r,角振動数w x方向に単振動させる。時刻tにおいて、n番目の物体がはじめに静止していた位置からの変位をとする。以下では、すべての物体の変位が図6に示すように波長lの正弦波上にあり、時間の経過にしたがって、この正弦波がx軸の正の向きに進む場合を考える。このとき、ldにくらべて十分に大きく、物体に作用する力はバネによるもののみとする。 答えは、rwtdlmkの中から必要な記号を用いて表せ。


それぞれの物体の単振動は、等速円運動を直線上に投影した運動と考えてよい。いま、P番目の物体についてみたところ、対応する等速円運動の回転角がであり、単振動の変位はであった。このとき、番目と番目の物体に対応する等速円運動の回転角は、それぞれ サ  シ となり、( サ )( シ )となる。時刻tにおいて、P番目の物体の加速度は ス であり、P番目の物体が左右のバネから受ける力の合力は セ であるので、この物体の運動方程式から、w lの間には ソ の関係がある。

解答 問1では、近似計算を促すような誘導がついていますが、入試問題としては教科書準拠義務があるとしても、空所補充問題で解法が問われることもなく、近似前の結果も問われておらず、受験生は微分して解答すればOKです(変位・速度・加速度を参照)
2()は符号がややこしいので注意してください。

1 この問題では回転角y軸正方向から時計回りに測っていますが、y軸を横軸、x軸を縦軸にとって見れば、x軸正方向から反時計回りにを測る場合と、x座標とy座標が入れ替わっているだけです(等速円運動を参照)
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物体の速度について、
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物体の加速度について、
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注.問題文の誘導は問2との関連で言うと、速度ベクトル位置ベクトルよりも位相進んでいて、加速度ベクトル速度ベクトルよりも位相進んでいて、時刻tにおける速度加速度は、時刻0における速度加速度だけ回転させたものだ、と、言いたいのだろうと思います。

2() P番目の物体と番目の物体の位相差、また、番目の物体とP番目の物体の位相差は、距離d波長lより、です。
時間の経過に従って、正弦波x軸正方向に進むので、番目の物体の変位P番目の物体の変位よりも、位相だけ進んでいて、P番目の物体の位相なら、番目の物体の位相です。つまり、番目の物体に対応する等速円運動回転角は、 ......[]
() 同様に、番目の物体の変位P番目の物体の変位よりも、位相だけ遅れていて、P番目の物体の位相なら、番目の物体の位相です。つまり、番目の物体に対応する等速円運動の回転角は、 ......[]
() を問1と同様に考えて、P番目の物体の加速度は、
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() 番目の物体とP番目の物体の間のバネの伸びは、
 (加法定理を参照)
P番目の物体が左側のバネから受けるは、符号に注意して、
 ・・・@
番目の物体とP番目の物体の間のバネの伸びは、
P番目の物体が右側のバネから受けるは、符号に注意して、
 ・・・A
@+Aより、P番目の物体が左右のバネから受ける合力は、
 ・・・B
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() P番目の物体の運動方程式と、()、Bより、

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