阪大物理'09年後期[2]

1に示す装置(回転子)を用いて、発電機と電動モーターのはたらきについて考えてみる。
1の回転子は、1本の回転軸に垂直に取り付けられた絶縁体でできた2枚の円板(直径D)と、その円板の外周に回転軸に平行になるように取り付けられた細い4本の金属棒(abcd)からなる。回転軸は円板の中心を通っている。金属棒の長さはLで、その太さは円板の直径に比べて小さく無視してもよいものとする。金属棒の位置は等間隔になるように、円板の中心から見た角度ごとに取り付けられている。この回転子は回転軸と直交する一様な磁場(磁界)の中にある。なお、回転軸の位置は動かないように固定され、回転軸の摩擦および回転子に対する空気抵抗は無視できるものとする。
2は図1の手前から回転子を見たものである。以下の設問では図2に示すように、磁場(磁束密度)の向きは上向きとし、回転子は反時計回りに一定の角速度w ()で回転しているものとする。また、時刻tにおける、図2acを結ぶ直線と磁場のなす角度をとする。
T.まず最初に、この回転子を用いて発電する場合を考える。図3のように金属棒と電線を用いて金属棒acおよびbdを含む2つの閉回路を作る。閉回路にはそれぞれ抵抗値Rの抵抗を直列に挿入する。電線と抵抗の質量は回転子の質量に比べて小さく無視できるものとする。以下の設問では、図3に示した矢印(および)の向きを電流の正の向きとし、正の向きの電流を流す起電力の向きを正の向きとする。なお、この閉回路に流れる電流が作る磁場の大きさは、一様な磁場Bに比べ小さく無視できるものとする。このとき以下の問いに答えよ。
1 時刻tに金属棒aに生じている誘導起電力を求めよ。
2 時刻tに金属棒acを含む閉回路に流れている電流を求めよ。また、時刻tにおけるこの電流による抵抗での消費電力を求めよ。
3 金属棒bdを含む閉回路でも抵抗で消費される電力があり、回転子全体ではの電力が消費される。PBDLRwt のうち必要なものを用いて表せ。
4 この回転子の回転の角速度wを一定に保つには、2つの抵抗で消費する電力Pに見合うエネルギーを外部から供給する必要がある。そこで図4のように、円板の外周に巻きつけたひもを大きさの力で引き、回転の角速度wを一定に保った。この力の大きさPDLwt のうち必要なものを用いて表せ。
以上のように、回転子に力を加え続け回転を維持することで、外部接続機器に電力Pを供給するのが発電機のしくみである。

U.次に図5のように2つの閉回路に交流電源を追加し交流電流およびを流すことで、この回転子を電動モーターの部品として使用する場合について考える。電流およびの値が正のとき、図に示す矢印の向きに電流が流れる。なお、この閉回路に流れる電流が作る磁場の大きさは、一様な磁場Bに比べ小さく無視できるものとする。このとき以下の問いに答えよ。また、必要であれば次の三角関数の公式を用いてよい。
  
5 2つの閉回路に、回転子の回転の角速度wと同じ角周波数wをもつ次のような交流電流を流した。
, 
ここでIは正の定数である。また定数f ()は、回転子の回転と交流電流の位相の差を表している。このとき、この回転子が磁場から受ける力による、回転軸を中心とする力のモーメントMの大きさをBDLIwfのうち必要なものを用いて表せ。
6 回転子が一定の角速度wで回転し続けるためには、回転していない物体が回転運動を起こさない条件と同様に、回転子にはたらく力のモーメントの総和がゼロになる必要がある。そこで、図6に示すように、円板の外周に巻きつけたひもに負荷として大きさの力を加え、力のモーメントの総和をゼロとし、回転の角速度を一定に保った。この力の大きさBDLIwfのうち必要なものを用いて表せ。
7 最後に、この電動モーターが消費する電力を考えてみる。閉回路に挿入した交流電圧は、抵抗における電圧降下と誘導起電力に相当する電圧となる。これを考慮し、この電動モーターを回すために必要な電力BDLRIwfのうち必要なものを用いて表せ。

解答 一見して電磁気の公式を適用するだけの基本問題のように見えますが、電圧電流の符号に細かい神経を使う必要があります。

T.問1 金属棒acを含む閉回路の面積です。時刻t に、磁束が貫く閉回路の有効面積Sは、
閉回路に生じる起電力Vは、電磁誘導の法則より、
 (マイナスはレンツの法則を意味する便宜的なものです)
となる時刻t においては、金属棒acを含む閉回路を貫く磁束は次第に増加します。従って、閉回路には磁束の増加を抑える向き、つまり、印加磁場と逆向き(2の下向き)磁場を作る向きの誘導起電力、つまり、右ねじの法則よりとなるような電流を流す向きの誘導起電力が発生します。この誘導起電力は正です。従って、acを含む閉回路に発生する誘導起電力Vと逆符号で、
 ・・・@
金属棒acには等しい起電力が発生するので、時刻t に金属棒aに生じている誘導起電力はこので、
......[]

2 時刻t acを含む閉回路に流れる電流は、@とオームの法則より、
......[]
時刻t における抵抗での消費電力は、
......[]

3 時刻t に図2bdを結ぶ直線と磁場のなす角度はです。よって、問2に入れ替えることにより、bdを含む閉回路における抵抗での消費電力は、
......[]

4 円板の半径で、金属棒の速さです。仕事率は問3Pに等しく、
......[]

U.問5 の正の向きを図6の向きにとります。のときですが、このとき、フレミング左手の法則により、金属棒a磁場から受けると逆向きで、
()
のときも含めて、
同様に、のときで、
これはのときも含めて成立します。また、

うでの長さうでの長さですが、回転子を回転軸を中心として反時計回りに回転させようとする力のモーメントを正とするとき、
であれば、
モーメントと逆符号、モーメントと同符号、
であれば、
モーメントと同符号、モーメントと逆符号、
であれば、
モーメントと同符号、モーメントと逆符号、
であれば、
モーメントと逆符号、モーメントと同符号、
になります。従って、
モーメントは、

モーメントは、

以上より力のモーメントの総和Mは、


 () ・・・A
より,よって、力のモーメントMの大きさは、 ......[]

6 力のモーメントのつり合いより、 ( A)
......[]

7 Uにおいても、金属棒acを含む閉回路に発生する誘導起電力は、@と同様に、
キルヒホッフ第2法則より(金属棒の電圧降下は、起電力の符号を変えたものになることに注意)
に入れ替えることにより、
電動モーターを回すために必要な電力は、
......[]


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