阪府大物理'09年前期[1]

1に示すように、水平面から傾きqの斜面をもった質量Mの台を水平な床面上におき、その斜面上の床面から高さの位置Aに質量mの大きさが無視できる小球をおく。ただし、台の側面のOQは床面に垂直である。台を床に固定しておき、小球を静かに離すと、小球は斜面上を滑り落ち、高さhの台の端Oを通過した後、点Qから距離Lだけ離れた床面の点Pに落下した。台の斜面と小球との間に摩擦はなく、空気抵抗は無視できるものとする。重力加速度の大きさをgとして、以下の問に答えよ。
(1) 小球が斜面に沿った方向に、加速度の大きさaで運動しているとして、小球の斜面に沿った方向についての運動方程式を書け。
(2) 小球が点Aから点Oまで移動するのに要する時間tを、hgqのうち必要なものを用いて表せ。
(3) 小球が点Oを通過する瞬間の速さを、hgqのうち必要なものを用いて表せ。
(4) PQ間の距離Lを、hgqのうち必要なものを用いて表せ。

次に台の固定をはずし、台が床面を自由に運動できる場合を考える。なお、台と床面との間に摩擦はなく、台の底面は床面から離れることはないものとする。小球を再び床面から高さの位置Aにおいた後、静かに小球を離すと、小球が斜面を滑り落ちると同時に台は右の方向に動き出す。小球が台の斜面を滑り落ちて、点Oを通過する瞬間における、小球の台に対する斜面に沿った方向の速さを,台の床面に対する速さをとして、以下の問に答えよ。
(5) 小球を点Aから離した瞬間と、小球が点Oに達した瞬間との間において、小球と台の水平方向についての運動量保存の法則を、mMgqのうち必要なものを用いて等式で表せ。
(6) 小球を点Aから離した瞬間と、小球が点Oに達した瞬間との間において、小球と台の力学的エネルギー保存の法則を、mMghqのうち必要なものを用いて等式で表せ。
(7) を、mMghqのうち必要なものを用いて表せ。

解答 相対運動の標準問題です。

(1) 小球に働くの斜面に沿う方向の成分は、重力の斜面に沿う方向の成分で
斜面に沿う方向での小球の運動方程式は、
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よって、小球の斜面に沿う方向の運動は等加速度運動です。

(2)小球は、この間に斜面に沿って動くので、等加速度運動の公式より、
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(3) 等加速度運動の公式より、
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(4) Oを通過した後の小球の運動は、水平方向に速さ等速度運動、鉛直方向に加速度g初速度等加速度運動です。
Oを通過してPに落下するまでの時間として、等加速度運動の公式より、


......[]

(5) 床面で小球の運動を見るとき、小球の速度の水平成分は、,鉛直成分はです。水平方向の運動量保存則より、
......[]
 ・・・@

(6) 力学的エネルギー保存則より、
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 ・・・A

(7) @をAに代入して、

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