名工大物理'09[1]

粗い平板の上を転がることなくすべる小さな物体の運動に関する以下の問いに答えよ。ただし、重力加速度の大きさをとする。物体の大きさは考えなくてよい。また、必要であれば以下の関係を用いよ。
「初項がで公比r ()の無限等比級数の和はで表せる。」
1 次の文中の()()の空欄に適切な式を入れよ。
1のように粗い平板を水平から測った傾斜角がとなるよう固定した()。この平板との動摩擦係数がである物体1と動摩擦係数がである物体2を用意し、それぞれ平板上に置いて静かに離した。その直後に両物体ともに平板に沿った方向にすべり始めた。このとき、物体1の加速度は,物体2の加速度はである。
物体
1,物体2が初速度0からまで加速するのに要する時間をそれぞれとするとき、を用いて表すとである。
2 図2に示すように粗い平板を水平から測った傾斜角がとなるよう固定した()。平板に沿ってx軸をとり、図中の矢の向きを正とする。質量がの物体1を点Pに、質量がの物体2を点Pからx軸の正の向きにだけ離れた点において静かに離した。物体2は静止したままであったが、物体1はその直後にすべり始め、物体2に衝突した。物体1と物体2の反発係数(はねかえり係数)e ()である。衝突は瞬時に起こるものとする。また、平板と物体1の動摩擦係数は,平板と物体2の動摩擦係数はである。
(1) での衝突直後に、物体1の速度は0となり、物体2は正の向きにすべりだした。このことからを求めよ。また、衝突直後の物体2の速度を求めよ。
(2) での衝突後、物体1は再度すべり始め、図3に示すように点からx方向にだけ離れた点において物体2と再衝突した。この再衝突の直前に物体2の速度はちょうど0となった。このとき、を用いて表せ。また、を求めよ。
(3) での衝突直後の物体12の速度を求めよ。
(4) での衝突後、物体1は再度すべり始め、図3に示すように点からx方向にだけ離れた点において物体2と再衝突した。この点における衝突直後の物体2の速度を求めよ。また、を求めよ。
(5) このように、物体12は衝突を繰り返しながら斜面をすべり、やがて両物体とともに斜面上で静止した。物体1が点Pから静止するまでにすべった距離を求めよ。
(6) 両物体が静止するまでに失った位置エネルギーの和をとし、両物体が平板との摩擦により失った力学的エネルギーの和をとする。を求めよ。
(7) 解答用紙には物体1の運動エネルギー変化を点Pの位置を原点としたxの関数として、点の位置まで破線で描いてある。同一グラフ上に物体2の運動エネルギーの変化の概略をxの関数として点から点の位置まで描け。

解答 難問というわけではありませんが、ボリューム満点の問題なので、急いで作業を進める必要があります。

1 物体1が斜面に沿う方向に受けるは、斜面に沿って下向きを正として、重力の斜面に沿う方向の成分が摩擦力,物体1加速度として、この方向の運動方程式
 ・・・@
物体2についても同様に、加速度として、斜面に沿う方向の運動方程式
 ・・・A
また、等加速度運動の公式より、
 ・・・B
() @より、
......[]
() Aより、
......[]
() Bより、
......[]

2(1) 1qaに入れ替えることにより、物体1,物体2加速度は、
 ・・・C
 ・・・D
衝突直前の物体1速度として、等加速度運動の公式より、
 ・・・E
衝突前後の運動量保存より、
 ・・・F
反発係数の式
 ・・・G
F,Gより、
......[]
E,Cより、
......[]
(2) 1回目の衝突から2回目の衝突までの時間として、物体2について等加速度運動の公式より、
 ・・・H
 ・・・I
 ・・・J
JをHに代入し、
Iより、
 ・・・K
C,Dより、
 ・・・L
......[]
H,K,(1)の結果、Eより、
......[]
(3) 2回目の衝突直前の物体1速度は、I,Kより、
2回目の衝突前後の運動量保存より、
 ・・・M
反発係数の式

 ・・・N
Mに代入して、

(1)の結果を用いて、
......[]
Nより、
......[]
(4) ここまでの速度の変化の具合を考えてみます。3回目の衝突直前の物体1速度とします。

初め→1回目1回目→2回目2回目→3回目
物体1
物体20
距離

これを見ると、衝突ごとに、衝突直前の物体1速度e倍が衝突直後の物体2速度になり、さらに、物体1の次の衝突直前の速度になることがわかります。これより、3回目の衝突直前の物体1速度3回目の衝突直後の物体2速度は、

......[]
また、(2)と同様に、 ......[]
(5) (4)の検討により、物体1が点Pから静止するまでにすべった距離は、初項,公比無限等比級数となり、
......[]
(6) 物体1がすべった距離(5)より,物体2がすべった距離です。
最終的に静止する地点を基準として、物体1の最初の位置エネルギーは、すべった変位の鉛直成分を考えて、,物体2の最初の位置エネルギーは、(1)の結果より、
両物体が静止するまでに失った
位置エネルギーの和は、
物体1が摩擦によって失ったエネルギーは、摩擦力のした仕事(負の値)のマイナスを取って、,物体2が摩擦によって失ったエネルギーは、同様に、 ()
両物体が平板との摩擦により失った力学的エネルギーの和は、
ここで、C,D,Kより、
よって、
 ・・・O
......[]
注.は物体1と物体2の非弾性衝突の際に失われるエネルギーの総和を与えます。完全弾性衝突()の場合、Oの分子だけ見ていると、ですが、このときは、であって、衝突は無限に繰り返されることになり、両物体とも斜面上で静止することは永久にありません(斜面が続いていれば)
(7) 物体1速度とします。
はじめから1回目の衝突までの間(間、つまり、)では、等加速度運動の公式より、
物体1運動エネルギーは、
1回目の衝突から2回目の衝突までの間(間、つまり、)では、

2回目の衝突から3回目の衝突までの間(間、つまり、)では、

以上より、物体1運動エネルギーについて、右図破線のグラフを描くことができます(3線分の傾きはで等しく、3線分は平行です)
物体
2速度とします。
()では、等加速度運動の公式より、
 ( K)
物体2運動エネルギーは、Eより、となるので、
x1次関数なので、このグラフは線分です。
()においては、 (これは、物体1直前の運動エネルギーe倍です)
()
直前においては、(2)の結果より、です。
()では、
 ( K)
このグラフも線分で、 ()においては、 (これは、物体1直前の運動エネルギーe倍です)
()
直前においては、です。
以上より、物体
2運動エネルギーについて、右図実線のグラフを描くことができます(2線分の傾きはで等しく、2線分は平行です)
注.実戦的には、以上のような精密な議論なしに、衝突地点での物体
1運動エネルギーよりもやや小さいところと0とを結ぶ線分を引いておくのでよいと思います。


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