鹿児島大物理'09[2]

(a)のように、抵抗(電熱線)とピストンがついた十分長いシリンダを考える。シリンダ内を水で満たし、抵抗に電流を流して加熱する。以下の問いに答えよ。なお、ピストンの質量は無視でき、その動きはなめらかで、シリンダ内から外に熱は逃げないものとする。また、シリンダ内は、攪拌(かくはん)され温度は均一とする。
(1) 最初であった水に、1秒あたり一定の熱を加え、全てを蒸発させる。ピストンにおもりを、(i)乗せる場合、(ii)乗せない場合のそれぞれについて、シリンダ内の温度はどのように変化するか。最も適当なグラフを右の()()の中から一つずつ選べ。なお、各グラフの目盛りは共通で等間隔である。
(2) 電気抵抗と温度の関係が図(b)のグラフで与えられるものとする。抵抗で1秒間に発生する熱が一定であるように調節するには、温度Tに対し抵抗に加える電圧をどのように変化させるとよいか。TVの関係を式で表し、さらにグラフを描け。ただし、とする。
(3) 外気圧は1気圧で、最初、シリンダ内に水が入っていたとする。水が蒸発を始めてから終わるまでに、水(水蒸気)がピストンにする仕事を求めよ。ただし、水の質量はとし、重力加速度の大きさはとする。なお、解答には途中の計算も簡単に記せ。
(4) 次の文章はシリンダ内の気体の圧力について書かれたものである。空欄に入れる適当な数式や用語は何か。空欄@〜Dには最も適当なものを下の選択肢()()より一つずつ選べ。ただし、同じものを二度選んでもよい。空欄Eには適当な式を記せ。なお、z軸は鉛直上向きにとり、ピストンはシリンダの底面より高さhにあり、気体の体積はVとする。また、物理量w の平均値はのように文字の上に横棒をつけて書き表すものとする。

シリンダ内の気体が質量mの分子N個からなると考えよう。速度で運動していた分子がピストンに衝突すると、分子の運動量は @ だけ変化する。このとき、分子がピストンに与える力積は A の法則より B である。一方、ピストンに衝突した分子が再びピストンに衝突するまでの時間は C である。従って、気体分子全体がピストンを上向きに押す力の大きさは D となり、気体の圧力pは、分子1個の運動エネルギーの平均値を用いて E となる。

 選択肢  
() エネルギー保存 () 作用反作用 () 熱量保存 () ボイル・シャルル ()  ()  ()  ()  ()  ()  ()  ()  ()  ()  ()  ()  ()

解答 (1)は水の蒸発熱温度上昇させるのに必要なよりもかなり大きいこと、(3)では気体定数の値を知っていないと、解答できません。(3)では、液体から気体になるときに体積が大幅に増大することが前提になっています。

(1) 水の比熱はほぼ圧力依存性が小さいことが知られています。従って、(i)(ii)におけるグラフの傾きはほぼ等しくなります。また、の水を温度上昇させるのに必要な熱量は、です。
水が沸騰して蒸発する間、全ての水が蒸発してしまうまで、温度沸点のまま変化せず、グラフは横軸に平行になります。また、水の沸点圧力が大きくなると上昇することが知られており、(i)の方が圧力が大きく沸点が高くなります。水の蒸発熱(気化熱)において、ほぼなので、の水をすべて蒸発させるのに必要な熱量は、です。(i)では、おもりを押し上げる仕事の分だけ余計に熱量が必要で、よりも大きな熱量が必要になります。
1秒当たり一定のを加えるので、時間熱量に比例し、(ii)で、水が全て蒸発するのに要する時間は、に要する時間倍です。(i)の蒸発では、これよりも長い時間を要します。
以上より、シリンダ内の
温度変化を表すグラフは、(i) エ (ii) ......[]

(2) (b)のグラフより、抵抗Rは、
と表せます。1当たり一定のを加えることから、抵抗消費電力は一定で、のとき、より、

......[]
グラフは右図実線。

(3) の水の質量で、なのでに相当します。理想気体は標準状態でも体積を占有します。水蒸気が生じた後、外気圧,水蒸気の圧力p,シリンダーの断面積S,おもりの質量m重力加速度の大きさをgとして、ピストンに働く力のつり合いより、
従って、水蒸気の圧力は、で一定です。
水の蒸発が終わるときの水蒸気の
体積V,水のモル数をn沸点Tとして、水蒸気の状態方程式は、
圧力一定より、水蒸気のした仕事は、
......[]

(4)@ 速度で運動していた分子がピストンに衝突してはねかえると、速度となり、分子の運動量の変化は、
() ......[]
A 作用反作用 () ......[]
B 作用反作用の法則により、分子がピストンに与える力積は、
() ......[]
C ピストンに衝突した分子は、z方向に速さ距離運動するので、その時間
() ......[]
D 分子は、1秒間回ピストンに衝突し、分子が単位時間にピストンに与える力積、即ち、ピストンに及ぼすの大きさは、
N個の気体分子全体がピストンを上向きに押すの大きさは、を平均値として、
() ......[]
E さらに、
より、なので、気体がピストンに及ぼすの大きさFは、
気体の圧力PFをシリンダー断面積Sで割って、
分子1個の運動エネルギーの平均値は、
また、と合わせて、
......[]


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