京都府立大物理'09[4]

極板の面積がの平行平板が図のように配置されている。極板間の距離は,極板間の距離はである。極板の厚さは無視でき、極板間に生じる電場は極板に垂直であるとする。極板間の誘電率はとして以下の問いに答えよ。
(1) はじめ、スイッチSは開いており、極板に電荷を与える。
() これらの電荷によって極板間に作られる電場の強さを求めよ。
() の電位をとしたとき、の電位を求めよ。
(2) 次にスイッチSを閉じ、十分時間がたったものとする。
() 極板から極板に移動した電荷量を求めよ。
() 極板間の電場の強さおよび、極板間の電場の強さを求めよ。
() 極板に働く力の向きはどちらか。側を上として答えよ。
() 極板の電位を求め、dlを用いて表せ。

解答 「電荷Qから伸びる電気力線本になる」、というのが、高校物理風に述べたガウスの法則ですが、クーロンの法則の比例定数kは、真空の誘電率との間に、という関係があるので、電荷Qからは本の電気力線が伸びることになります。
電場ベクトルの大きさEは、単位面積あたりの電気力線の本数になるので、電荷面積Sの閉曲面で覆われていれば、


となります。この左辺のという量を「電束」と言います。従って、ガウスの法則を「電束電荷」という風に表現することができます。この方が覚えやすいのではないかと思います。「磁束」が磁荷から1本出る、と数える磁力線と思えばよいのと同様に、「電束」を、1[C]電荷から1本出る、と数える電気力線と思っていればOKです。

(1)() 電荷Qをもつ極板を取り囲む面積の閉曲面にガウスの法則を適用すると、極板の作る電場について、

 ・・・@
この
電場は、極板から上下に出て行く向き(電気力線の向き)です。
電荷をもつ極板を取り囲む面積の閉曲面にガウスの法則を適用すると、極板の作る電場について、

 ・・・A
この
電場は、極板に向かって上下から入ってくる向きです。
これより、極板間では、同じ大きさの両
電場からに向かう向きに強め合うので、電場の大きさは、@,Aより、
......[]
() 極板間の電場は一様なので、公式: (電位・電圧を参照)が使えます。極板電位は極板電位よりも高いことに注意して、極板間の距離dであることと、()の結果を用いて、極板電位、即ち、極板間の電位差は、
......[]

(2)() 極板間に作られるコンデンサー容量は、
注.これより、(1)の状況下、つまり、極板電荷を保持しているときの極板間の電圧は、

極板間の電場の大きさは、

として、ガウスの法則を用いることなく、
(1)を解答することができます。
極板間に作られるコンデンサーの容量は、

並列接続になっていて電圧は共通で、電荷Qは、に分かれ、に蓄えられる電荷量は、

従って、極板から極板に移動した
電荷量qは、
......[]
() 両端の電圧Vは、
 ・・・B
は並列なので、両端の
電圧Vです。極板間の電場の大きさは、
......[]
極板間の電場の大きさは、
......[]
() 極板間に働くの大きさは、
 (向きは下向き)
極板間に働くの大きさは、
 
(向きは上向き)

のとき、より、下向き
のとき、より、合力は
0
のとき、より、上向き ......[]
() 極板の方が極板よりも電位が高く、極板電位は、B,()を用いて、
......[]


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