北大物理'09[2]

1のように、面積の薄い正方形の極板ABを距離だけ隔てて真空中に平行に配置し、スイッチおよび起電力の電池と導線で接続した。極板Bは接地されている。最初スイッチは開いており、極板ABに蓄えられている電気量(電荷)はゼロであった。真空の誘電率をで表す。極板間に生じる電界(電場)は一様であるとして、以下の文章の  に適切な数式を入れよ。問題文に現れる記号は解答に用いてよい。
1 スイッチを閉じて十分な時間が経過したとき、極板AB間にできる電界の大きさは、Vdを用いて (1) と表せる。一方、極板Aに蓄えられた電気量をとすると、極板AB間の電界の大きさは、QSを用いて (2) と表せる。したがって、極板ABの電気容量は、Sdを用いて (3) と表せる。また、極板AB間に蓄えられた静電エネルギーは、QCを用いて (4) となる。
2 次に、極板ABと同じ面積Sの正方形金属板Mを用意した。その厚さはである。この金属板Mには、問1で極板Aに蓄えられた電気量の2倍の電気量が蓄えられている。図2に示すように、スイッチを閉じたままの状態で極板AB間の電圧をVに保ち、この金属板Mを極板AB間に平行にゆっくり挿入した。ここで、極板ABと金属板Mは、極板に垂直な方向からみて正確に重なっているものとする。十分時間が経過した後、極板ABに蓄えられた電気量をそれぞれとする。ここでは正である。回路が接地されているためであることに注意して、Qのみを用いて表すと、 (5) (6) となる。また、極板Aと金属板Mの間に生じた電界の大きさは、Cを用いて (7) であり、金属板Mを含む極板AB間に蓄えられた静電エネルギーは、Cを用いて (8) となる。その後スイッチを開いて、金属板Mを極板Aに向かってゆっくりと距離だけ平行移動させた。この平行移動に要した仕事はCを用いて (9) である。このとき極板Aと金属板Mの間に生じた電界の大きさはCを用いて (10) であり、極板Aの電位はVを用いて (11) になる。

解答 前半は、静電容量の公式を求める内容になっていますが、受験生には、やや意表を突く出題かも知れません。(2)は公式から逆算してもよいでしょう。後半は、静電エネルギーの変化を考える基本的な問題です。
物理の入試問題一般に言えることですが、「問題文に現れる記号は解答に用いてよい」という問題文の指定に注意してください。個人的には、こうした曖昧な指定ではなく、「問題文に現れる記号のみを用いて解答せよ」と、明確な言い方にするべきではないか、と思います。


1(1) 電位差と電界の公式より、極板AB間にできる電界の大きさは、
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(2) 極板Aをぴったりと覆う閉曲面の面積,極板A電荷から出る電気力線の本数です。極板Aが上側また下側に作る電界の大きさをとして、ガウスの法則より、
同様に、極板Bが上側また下側に作る電界の大きさは、
極板AB間では、とが重なり合うので、極板AB間の電界の大きさは、
......[]
(3) (1)(2)より、

......[
]
(4) 極板AB間に蓄えられた静電エネルギーは、極板Bがつくる電界中で、極板A電荷Qを、極板Bの位置から距離dだけ引き離すのに必要な仕事に等しくなります。極板間のクーロン力につり合う一定の大きさ外力距離d働く、として、
 (コンデンサーの過渡現象を参照)
......[]

2(5) 極板Aと金属板Mの間にできるコンデンサーの静電容量は、
 ・・・@
極板Bと金属板Mの間にできるコンデンサーの静電容量は、
 ・・・A
金属板Mの極板A側の面には電荷,金属板Mの極板B側の面には電荷が蓄えられ、その和はです。
 ・・・B
キルヒホッフ第2法則より、コンデンサー電圧の和はに等しく、
@,Aより、
 ・・・C
C−Bより、
 ・・・D
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(6) DをBに代入して、
 ・・・E
......[]
(7) (2)の結果を利用して、極板Aと金属板Mの間に生じた電界の大きさは、@,Dより、
......[]
(8) @,Dより、コンデンサーに蓄えられた静電エネルギーは、
A,Eより、コンデンサーに蓄えられた静電エネルギーは、
金属板Mを含む極板AB間に蓄えられた静電エネルギーは、
......[]
(9) スイッチを開いて金属板Mを平行移動させるので、極板A,極板B電荷のまま変化しません。金属板Mの平行移動後、極板Aと金属板Mの間のコンデンサーの静電容量は、
極板Bと金属板Mの間のコンデンサーの静電容量は、
金属板Mの移動後、金属板Mを含む極板AB間に蓄えられた静電エネルギーは、
平行移動に要した仕事は、静電エネルギーの増加分に等しく、
......[]
(10) (2)の結果を利用して、このとき極板Aと金属板Mの間に生じた電界の大きさは、
......[]
注.金属板Mを平行移動しても、極板A電荷に変化がないので、極板Aと金属板Mの間の電界は、その距離によって変化することはありません。
(11) 極板Aと金属板Mの間の電圧は、
金属板と極板Bの間の電圧は、
極板A電位は、
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