北大物理'09年前期[3]

1のように、断熱素材でできた球皮とゴンドラ等からなる気球が地面に置かれて浮上せず静止している。大気(空気)は温度の理想気体とみなすことができる。大気の圧力は重力のため高度が低いほど高いが、ここではまず、その圧力の高度依存性を無視して気球の中心の高度での大気の圧力で近似する。
一方、密閉された球皮内には大気と同じ圧力
pと温度Tを持つ単原子分子理想気体が入っており、球皮内の気体の内部エネルギーは、気体定数を用いて、と書くことができる。球皮は最初十分にしぼんだ状態であり、球皮内に装着されたヒーターにより、球皮内の気体の温度を上昇させ気体の体積を膨張させることができる。このとき、球皮内の気体の圧力と大気圧は常につり合っているとする。以下の文章の (1) から (10) に適切な数式を入れ、 (11) には有効数字2桁の数値を入れよ。

1 球皮内の気体の体積は、状態方程式より (1) と書くことができる。いまヒーターによって熱量をゆっくり気体に与えたところ、気体の温度と体積がそれぞれおよびだけ変化した。この過程で球皮内の気体が外部にした仕事は (2) であり、その内部エネルギーの変化は (3) となる。したがって、熱力学第一法則より、Qおよびを用いて (4) と表せる。この式と状態方程式により、球皮内の気体の定圧モル比熱(圧力一定の条件での気体を単位温度上昇させるのに必要な熱量)Rを用いて (5) と書くことができる。

ゴンドラの質量を,球皮内の気体と空気のモル質量(当たりの質量)をそれぞれおよびとし、重力加速度の大きさをとする。また、気球の質量は球皮内の気体とゴンドラの質量のみを考慮し、ほかはすべて無視せよ。気球の体積は球皮内の気体の体積のみを考慮し、ほかはすべて無視せよ。

2 気球に働く重力の大きさは (6) である。一方、気球を図1の状態から温めて体積がになったとすると、この体積を占めていた空気のモル数は、Tpを用いて (7) と表せる。重力のため大気の圧力は下方ほど高い。このことから浮力が生じる。浮力の大きさはアルキメデスの原理から正確に求められ、気球に働く浮力の大きさは (8) となる。以上より、気球を浮上させるにはその体積 (9) より大きくする必要があり、気球に (10) より多い熱量を与えなければならない。
例としてのヘリウムガスを用いた気球の場合を考える。空気のモル質量はである。大気の温度がの場合に、のゴンドラをつけた気球を浮上させるためには、ヘリウムガスの温度を (11) より高くする必要がある。

解答 熱気球を浮上させるために、気体の温度をどれほど高くすればよいか、を考える基本問題です。

1(1) 球皮内の気体の体積として、状態方程式
 ・・・@
......[]
(2) 体積変化するとき、気体が外部にした仕事は、
......[]
(3) より、内部エネルギーの変化は、
......[]
(4) 熱力学第一法則より、ヒーターで気体に与えたは、
 ・・・A
......[]
(5) ヒーターでを与えるとき、球皮内の気体は(大気圧と常につり合っているので)定圧変化し、変化後の圧力で、状態方程式
 ・・・B
B−@より、
 ・・・C
Aより、
 ・・・D
定圧変化のとき、より、定圧モル比熱は、

......[]

2(6) 球皮内の気体の質量,ゴンドラの質量と合わせて、
これに働く重力の大きさは、
......[]
(7) 体積を占める空気のモル数をとして、状態方程式
......[]
(8) アルキメデスの原理より、気球に働く浮力の大きさは、球皮内に空気があるとしたときの空気に働く重力の大きさに等しく(浮力の向きは重力と逆向き)

......[]
(9) 気球に働く浮力の大きさが気球に働く重力の大きさを上回ると気球が浮上します。
(とおきます)
......[]
(10) 浮上を開始するまでヒーターで温める間の体積変化は、
C,Dより、気球に与えるべき熱量は、
 ・・・E
......[]
(11) 気球が浮上するときのヘリウムガスの温度とすると、浮上を開始するまでの温度変化は、
E式に数値代入して、

......[]
注.問題文に与えられている数値の有効数字がバラバラですが、こうした場合には、最も少ない有効数字で見るようにします。本問では、M2桁が最も少ないので、解答も有効数字2桁で答えます。


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