防衛大物理'09[4]

光の速さは伝わる媒質の屈折率によって変化する。また、一般に同じ物質でも屈折率は光の波長によって異なる値をとる。
(1) 1に、波長589.3nmの光に対するいくつかの物質の屈折率(温度)を示す。この光が表1の物質中を伝わるとき、光の速さが最も遅くなる物質名を答えよ。また、その物質中におけるこの光の速さを有効数字3桁で答えよ。ただし、真空中の光の速さはとしてもよい。
(2) 1のように、屈折率の大きい物質1(屈折率)から屈折率の小さい物質2(屈折率)に光が入射するとき、入射角iがある角度(臨界角a)より大きいと光はすべて反射される。この現象を全反射という。臨界角aおよびのみたす関係式を求めよ。
(3) 2のように、物質1と物質2でできた細長い円柱がある。ここで、内側の物質1の屈折率は表2のように光の波長(光の色)によって異なる値をとるものとする。一方、外側の物質2の屈折率は赤から紫まで波長による変化はなく、とする。表2に示す単色光を、この円柱の中心軸に垂直な左端面から、入射角q で入射した場合について、以下の問いに答えよ。ただし、円柱の周囲は屈折率が1の気体であるとし、光は円柱の中心軸を含む平面内のみを進むものとする。
() 入射光が物質1と物質2の境界面で全反射して円柱内を進んでいくとき、q の最大値βとおよびのみたす関係式を求めよ。

() q のとき、物質1の円柱内を全反射して進んでいく単色光の色を答えよ。
() q のとき、物質1の円柱内を全反射して進んでいく単色光の色を答えよ。

解答 全反射を利用して光通信を行う、という、光ファイバーの原理を扱う基本問題です。なお、光の屈折を参照してください。

(1) 真空中の光速として、屈折率nの物質中を進む光の速さvは、で与えられます。n→大のとき、v→小となるので、光の速さが最も遅くなる物質は、屈折率が最も大きい、ダイヤモンド ......[] です。
ダイヤモンド中での光の速さは、
......[]

(2) 屈折角をrとして、屈折の法則より、

 ・・・@
ですが、,つまり、になると、@をみたす屈折角rが存在しなくなり、境界面で全反射するようになります。よって、臨界角aについて、
......[]

(3) 物質1と物質2の境界面に物質1側から光が入射するときの入射角をjとします。
左端面における屈折角は、となります。
左端面において、屈折の法則より、


 ・・・A
物質1と物質2の境界面において、屈折角をfとして、屈折の法則より、
Aより、
 ・・・B
になるとBをみたす屈折角fが存在しなくなり、物質1と物質2の境界面で全反射するようになります。をかけて2乗すると(です)
 ・・・C
() Cより、q の最大値b について、より、
......[]
() のとき、Cより、


2より、赤、黄、青、紫、4色とも、この条件を満たすので、円柱内を進んでいく単色光の色は、赤、黄、青、紫 ......[]
() のとき、Cより、


2より、青、紫がこの条件を満たすので、円柱内を進んでいく単色光の色は、青、紫 ......[]


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