横浜市大物理'08[3]

光の屈折と反射に関する以下の問いに答えよ。ただし、光は絶対屈折率の小さな媒質から大きな媒質への境界面では固定端による反射をし、絶対屈折率の大きな媒質から小さな媒質への境界面では自由端による反射をするものとする。なお、必要であれば、を用いること。また、解答は有効数字3桁まで示すこと。
(1) 1に示すように、真空中(絶対屈折率1.00)に屈折率,厚さの媒質Tがある。媒質上部の真空領域をA,下部の真空領域をBとし、領域Aと媒質Tの境界面をa,媒質Tと領域Bの境界面をbとする。真空中での波長がの平面波の光を角度で入射させたところ、媒質Tでの屈折角となった。
(a) 屈折率を求めよ。
(b) 境界面aで反射して領域Aに戻る光と、境界面bで反射して領域Aに戻る光の光路差がとなることを示せ。
(c) 領域A内の反射光が強めあうためのの最小値を求めよ。
(2) 次に、図2のように、境界面bに、屈折率,厚さの媒質Uを付け、媒質Uと下部真空領域Bの境界面をcとする。(1)と同じ角度で光を入射させたとき、媒質Tから媒質Uへ入射された光の屈折角となった。光の波長は(1)の設問と同じくである。
(a) 媒質Uの厚さであるとき、境界面bで反射して領域Aに戻る光と、境界面cで反射して領域Aに戻る光の光路差を求めよ。
(b) 媒質Tの厚さが設問(1)(c)で求めた値であるとき、境界面abcそれぞれから反射して領域Aに戻る光がすべて強めあうためのの最小値を求めよ。

解答 (2)では2層の薄膜の干渉になっていますが、1層ごとに考えるだけです。有効数字3桁で答えよ、という指定があるので、有効数字4桁で計算して、4桁めを四捨五入することにします。なお、薄膜の干渉を参照してください。

(1)(a) 屈折の法則より、
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受験生の答案を見ていると、屈折の法則を使うときに、1の分母・分子が逆になってしまうことが多いのですが、問題文の図1を見なくても(角の大小関係が逆に書かれていることがあるので注意してください)、真空中の方が光は速く進むので、入射角>屈折角となるように屈折します。となるので、物質の屈折率は1より大ですから、左辺と右辺で分母と分子のどちらが大きいか、ちょっと確認してもらえれば、間違うはずがないのです。
(b) 右図のように点をとります。反射を考えるので、反射面bに関して、TPと対称になるようにTUの経路を考え、光がQTPと進むのを、QUと進むように考えます。媒質Tの中に入った光線の経路の長さは、

です。境界面aで反射する光線がRPと進む間に、媒質T中を進む光線はQSと進むので、SUだけ余計に進むことになります。光路差経路差SUに媒質の屈折率をかけて、
となります。

(c) 境界面aでの反射は、屈折率の小さな媒質から大きな媒質への境界面における反射なので、固定端の反射となり、光の位相半波長分ずれます。
境界面bでの反射は、屈折率が大きな媒質から小さな媒質への境界面における反射なので、自由端の反射となり、光の位相はずれません。
両光線の間では、領域
Aに戻ったときに、半波長位相がずれてしまうので、両光線が強め合う条件は、
 ()

最小のは、のときで、このとき、より、
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(2)(a) 境界面bへの入射角はです。境界面bにおける屈折の法則は、

(1)(b)と同様に考えて、光路差は、より、

......[]

(b) 境界面bでの反射はなので自由端の反射であって、(1)(c)で考えた境界面aでの反射光と境界面bでの反射光の状況に変化はありません。境界面cでの反射は自由端の反射で、境界面bでの反射光と強め合う条件は、
 ()

最小のは、のときで、
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