東北大物理'08年後期[3]

内径rの球形容器に理想気体が封入してある。気体は質量mの単原子分子N個からなる。簡単のために、気体の各分子は一定の同じ速さで容器内を不規則な方向に飛び回っており、しかも分子同士は互いに衝突することなく、容器内壁と弾性衝突を繰り返しているとする。なお、気体定数をR,アボガドロ数を,ボルツマン定数をkとする。また、重力は無視できる。以下の問いに答えよ。結果だけでなく、考え方や計算の過程も記せ。
1 変形しない容器の中で、図1のように1個の分子が内壁に、速さ,入射角q で衝突する場合を考える。容器内の気体は絶対温度に保たれている。
(a) 容器の内壁に衝突する前後における、衝突による分子1個の運動量の変化の大きさを、rqmNRの中から必要なものを用いて表せ。
(b) 分子1個が1秒間あたりに壁と衝突する回数f rqmNRの中から必要なものを用いて表せ。
(c) 分子1個の各衝突での運動量の変化の大きさを1秒間合計し、この合計値を容器内の全気体分子について総和する。この総和値を、rqmNRの中から必要なものを用いて表せ。
2 問1の状態から、容器内の気体から熱量を奪った場合を考える。
(a) 熱量を奪った後の気体の絶対温度を、rqmNkの中から必要なものを用いて表せ。
(b) 熱量を奪った後の気体分子1個の運動エネルギーEを、rqmNkの中から必要なものを用いて表せ。
(c) 熱量を奪った後の気体の圧力を、rqmNkの中から必要なものを用いて表せ。
3 問2で熱量を奪った後、容器を変形可能なものに交換するとともに、外気圧を容器内の圧力と同じに保った。容器内の気体の絶対温度と圧力は、容器の交換後も変化しなかった。その後、容器内の気体に熱量を加えた。熱を加えている間、気体の圧力はに保たれ、容器は一様に膨張した。その結果、気体の絶対温度はとなった。ただし、容器を膨張させるための仕事は無視できるものとする。
(a) 熱量を加えたときに、容器内の気体がした仕事量Wを、Nkの中から必要なものを用いて表せ。
(b) 気体の絶対温度を、Nkの中から必要なものを用いて表せ。

解答 後半は、あまり見かけない形で、文字数が多いこともあって、少し考え込むかも知れません。なお、気体分子運動論を参照してください。

1(a) 分子1個の壁に垂直な方向の運動量は、衝突前が、衝突後が
運動量の変化は、
運動量の変化の大きさは、
......[]
(b) 右図のように、壁に衝突して次に壁と衝突するまでに、分子は進みます。速さなので、この間の時間1秒間に気体分子1個が壁と衝突する回数は、
......[]
(c) 分子1個の1秒間の運動量の変化の大きさは、1回当たりの値((a)で求めた)と回数((b)で求めた)をかけて、
分子N個の運動量の変化の大きさの総和は、さらに個数をかけて、
......[]
この運動量の変化の大きさの総和が、壁が1秒間に受ける力積、つまり、壁が受けるになります。従って、気体の受ける圧力Pは、壁が受けるを壁の面積で割って、
容器の体積Vとして(です)より、
 ・・・@
気体のモル数は,気体定数
Rについてより、気体の状態方程式は、
 ・・・A
@,Aより、
 ・・・B

2(a) 熱量を奪う間、容器の体積は変化しないので、気体は定積変化をして外部に仕事をしません。従って、熱力学第一法則より、熱量が奪われるとそのまま内部エネルギーが減少します。
単原子分子気体なので、気体の温度変化のときの内部エネルギーの変化は、となります。よって、
 ・・・C
......[]
(b) 絶対温度のときの気体分子の速さとして、Bより、分子1個の運動エネルギーは、
......[]
(c) Aにおいてとして、
 ・・・D
より、

......[]

3(a) 熱量を加えた後の体積とします。
Aにおいて、として、
 ・・・E
定圧変化においては、気体がした仕事は、で与えられます。よって、E−Dより、
 ・・・F
気体の内部エネルギーの変化は、Cと同様にして、
 ・・・G
熱力学第一法則より、
 ・・・H
Fより、
......[]
(b) Hより、
......[]
追記.問3は、(a)で気体のした仕事をまず聞かれるので上記の流れになりますが、気体がした仕事Wがなかなか思いつけないかも知れません。
定圧変化なので、定圧モル比熱の公式を用いて、
より、
と求めてから、熱力学第1法則とGを用いて、
としてWを求めることもできます。


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