信州大工物理'08[3]

図のように、片側が可動のピストンで閉じられた閉管の管口付近に音源を置く。ピストンを動かすことにより、気柱の長さを変えることができる。気柱の開口端補正は無視できるものとして、以下の問いに答えよ。ただし、設問(b)(d)では、主な式や説明をつけて記せ。また、気柱内の音速はとする。
(a) 次の文章の空欄に入る適当な語句または式を記せ。
の場合を考える。音源の周波数を調整すると、気柱内で共鳴が起きた。このとき、開口端は定常波の ア となり、閉端は イ となる。また、共鳴波長lは、nを正の整数とすると、l ウ と表せる。共鳴周波数は、nを用いてf  エ と表せる。音源の周波数を増加させる場合、ある共鳴周波数と次の共鳴周波数の周波数差は、 オ で表せる。
 エ  オ の答えは
n以外の文字を用いてよい。
(b) 音源の周波数をとする。ピストンを一定速度で引きLを長くしていくと、一定の時間間隔で共鳴が確認できた。このときの時間間隔を求めよ。ただし、uは音速に比べて十分に小さいものとする。
(c)(i) 音源の周波数をとし、L0からまでゆっくり変化させたところ、共鳴が12回確認できた。周波数の範囲を求めよ。
(ii) 音源の周波数を下げ、にしたところ、のとき共鳴が起きた。の値を求めよ。
(d) の位置にピストンを固定する。音源の周波数をから、毎秒の一定の割合で増加させる。周波数の増加開始時刻から、の間におきる共鳴について、共鳴がおきた時刻とそのときの共鳴周波数をすべて求めよ。ただし、t は小数点以下2桁で求めよ。

解答 物理の問題というよりも計算の問題、という側面が強い気がします。

(a) 右図のように、一端閉管の開口端は、空気分子が激しく振動できるので、定常波の腹となります。
() ......[]
閉端は、空気分子が振動できないので、定常波の節となります。
() ......[]
() 気柱の長さは、開口端補正を無視するので、右図のように波長の奇数倍になります。
......[]
() 波の公式より、
......[]
() n1つ違うときのfの差を求めます。
......[]

(b) 気柱に共鳴が起きるとき開口端は腹、閉端は節になるので、は、右図のように、節から節までの長さ、つまり半波長に相当します。周波数のとき、波長は、波の公式よりです。
......[]

(c)(i) 周波数のとき、波長です。共鳴が12回確認できたということは、()と同様に考えて、気柱の長さ波長23倍以上で25倍未満(1から12番目の奇数は23です)ということです。

......[]
(ii) ()の結果で、とすると、

これが(i)で求めた範囲に入ることから、

これをみたす整数nは、
......[]

(d) 時刻()における周波数は、
()の結果でとすると、
よって、共鳴が起きるとき、

より、

これをみたす整数nは、
のとき、
のとき、
のとき、
よって、のときのときのとき
......[]


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