阪大物理'08年後期[2]

1〜図4のような直流回路を考える。ただし、電流の向きは矢印の向きを正とし、電池の内部抵抗は無視する。
T.図1のように、起電力 ()の電池1,起電力 ()の電池2,抵抗値rの抵抗3つからなる回路がある。それぞれの抵抗には電流が流れている。電流ならびにb点に対するa点の電位を求めてみよう。
1 の間に成り立つ関係は (1) となる。 (1) の中に適切な式を入れよ。
2 の間に成り立つ関係は (2) となる。さらに、の間に成り立つ関係は (3) となる。 (2) (3) の中に適切な式を入れよ。rのうちの必要なものを用いて表せ。
3 を求めよ。rのうちの必要なものを用いて表せ。
U.次に、図2および図3の回路を考える。図2においてそれぞれの抵抗に流れる電流をとし、図3では、それぞれの抵抗に流れる電流をとする。
4 図2において、電池1から見た、3つの抵抗の合成抵抗を求めよ。
1と図2を比較すると、図2は図1において電池2の起電力をゼロとした(つまり、電池2を導線と入れ替えた)場合に等しい。また、図3は図1において電池1の起電力ゼロとした(つまり、電池1を導線と入れ替えた)場合に等しい。このように電池が2つ以上あり、回路内のある抵抗に流れる電流を求める場合、1つの電池をそのままで残りの電池の起電力をゼロ(つまり電池を取り除いて導線と入れ替える)としたときに、その抵抗に流れる電流を計算し、他の電池に対しても同様の手続きを行い電流をそれぞれ求めることができれば、それらの電流を足し合わせ、実際の回路における抵抗に流れる電流を求めることができる。これを重ね合わせの原理という。つまり、図1,図2,図3においては、の関係式が成り立つ。それぞれの電流は、電池の起電力の値と合成抵抗や抵抗の比を利用して求めればよい。
V.さらに、図4に示すように、抵抗値の抵抗に流れる電流を重ね合わせの原理を用いて求めてみよう。以下の問いにおいてはrのうちの必要なものを用いて答えよ。
5 図4において、電池2の起電力をゼロとしたときに抵抗に流れる電流をとし、電池1の起電力をゼロとしたときに抵抗に流れる電流をとする。を求めよ。
6 前問の結果からを求めると、以下のような形で表される。
を求めよ。
7 前問の結果は、において、図4の回路図を起電力の電池、抵抗値の抵抗、抵抗値の抵抗からなる簡単な回路に置き換えられることを示している。置き換えた回路図を描け。

解答 キルヒホッフの法則を用いる抵抗回路の問題です。問7の回路図は、どれだけ正確に回路シンボルを描くことを要求しているのでしょうか?抵抗をギザギザで描くとどうなるのでしょうか?
なお、このウェブサイトでは、「
電圧降下の向き」を電圧の向き(電圧が上昇する向き)と逆向きにしていることに注意してください。

T.問1(1) の+側の節点に流れ込む電流,節点から流れ出す電流です。キルヒホッフの第1法則より、
......[] ・・・@
2(2) の+側から出てが流れる抵抗を通りの−側に入る経路を考えると、起電力電圧降下 (電流と逆向き) (電流の向き)キルヒホッフの第2法則より、
......[] ・・・A
(3) の+側から出てが流れる抵抗を通りの−側に入る経路を考えると、起電力電圧降下 (電流の向き) (電流の向き)キルヒホッフの第2法則より、
......[] ・・・B
3 @をBに代入し、
 ・・・C
これをAに代入し、
......[]
これをCに代入すると、
......[]
@より、
......[]
......[
]

U.問4 図2の回路では、の流れる抵抗の流れる抵抗並列で、合成抵抗は、
よりです。この合成抵抗の流れる抵抗r直列合成抵抗は、
......[] (このときの回路は右図のように書き直すとわかりやすいでしょう)
注.この結果より、
3の回路では、の流れる抵抗の流れる抵抗は並列で合成抵抗,この合成抵抗の流れる抵抗rは直列で合成抵抗です。これより、
これより、確かに、
が成り立っています。

V.問5 図4において、電池2起電力をゼロとしたときの回路を書き直すと、右図のようになります。
r2個の合成抵抗r合成抵抗Rは、
より、
Rが直列のときの合成抵抗は、
R両端の電圧は、Rに分けたうちのRの分となり、
これより、を流れる電流は、電圧降下と逆向きになっていることを考慮して、
......[]
4において、電池1起電力をゼロとしたときの回路は、電池2起電力をゼロとしたときの回路で電池2を電池1に入れ替えた回路になり、の結果でに入れ替え、電流の向きが逆になり電圧降下と同じ向きであることを考慮して、
......[]
6 問題文中の考え方によると、
より、
......[]
7 オームの法則より、起電力の電池に抵抗抵抗が直列接続されて電流が流れる回路で、回路図は右図。


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